常见拉普拉斯逆变换公式为：f ( t ) = ∑ k = 1 n R e s [ F ( s ) e s t , s k ] f(t) = \sum_{ k =1}^{n}Res[~F(s)e^{st},s_k~]f(t)=k=1∑nRes[F(s)est,sk]。
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉普拉斯变换初值定理：
单边信号拉普拉斯变换的初值定理成立的前提是：在时不包含冲激或高阶的奇异导数，为了看清楚这一事实，回顾下初值定理的证明过程：逐项求拉普拉斯变换两边同时乘以得到可以看出，如果时不包含冲激或高阶的奇异导数的话的情况下。
但是你这个题目中，时表明时是可能包含冲激或高阶的奇异导数的，换言之上面证明过程中的泰勒展开是不收敛的，初值定理是不可以直接使用的。而，是的拉普拉斯变换，也就是上面说的时的冲激，去掉冲激项剩下的部分即可用初值定理。
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