数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。
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由于u(x), v(x)对x,可导，在
F(u, v, x) = 0, G(u, v, x) = 0中分别对x求导（用链式法则），就得到了上面的方程组
此线性方程组在每一个特定的点处成立，把它看作关于变量“偏u/偏x”, “偏v/偏x”的线性方程组，其它项视作常数（注意这个方程组的意义在于它在每一点处成立，在任一个点处当然是常数）用线性代数中的Grammer法则即可。（上述出现的行列式就是Grammer法则中的行列式。）
隐函数存在定理的条件是：
1方程F(X,Y,Z)在某点为0, 2F(X,Y,Z)对X和对Y的偏导数连续, 3F(X,Y,Z)对Z的偏导数不等于0;
隐函数存在定理主要讲述如何从二元函数F(x,y)的性质来判定由F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)是存在的，并且，这个函数还具有某些特性。
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