高数关于凑微分

1、你的不定积分和导数概念完全没有建立起来，甚至于不明白积分和导数的关系是什么；

2、这里只是简单的回顾一下，完全的理解和概念必须看课本，只看公式是完全没有用的；

3、不定积分和导数是互逆运算，就如加法和减法是互逆运算一样；例如，对f(x)求导，得到g(x):

f'(x)=g(x)，写的更详细一点就是：

d[f(x)]/dx = g(x)

那么：

d[f(x)] = g(x)dx

对两边求关于x的不定积分：

∫d[f(x)] =∫g(x)dx

因为不定积分和求导数是互逆运算，因此求导/求微分再积分相当于“抵消”，因此上式：

f(x)=∫g(x)dx

4、明白上述道理后，就很明显了：(sinx)'=cosx，那么：

∫d(sinx) = ∫ cosxdx

sinx = ∫ cosxdx

1令t＝1/x，则dt＝-（1/x^2）dx

原式＝-积分e^tdt＝-e^t+C

＝-e^（1/x）+C

2令u＝lnx，则du＝（1/x）dx

原式＝积分udu＝（1/2）u^2+C

＝（1/2）（lnx）^2+C

3令t＝根号x，则dt＝（1/2根号x）dx，原式＝2积分costdt＝2sint+C

＝2sin（根号x）+C

4令u＝e^x，则du＝e^xdx，

原式＝积分（e^x/（e^（2x）+1））dx

＝积分（1/（1+u^2））du

＝arctanu+C

＝arctan（e^x）+C

d(ax+b)=adx=>。

d(ax+b)=adx=>右边=(1/a)∫f(ax+b)·adx=(1/a)·a∫f(ax+b)dx=左边。

积分的实质解题过程就是想方设法把陌生的积分转换为我们熟悉常见的积分，也就是公式中背过的积分，凑微分法就是其中一种方式，例如我们知道∫cosxdx的积分为∫cosxdx=sinx+C，那么当问到∫cos2xdx时就用到了凑微分，设：u=2x，du=2dx，∫cos2xdx=∫(cos2x)/2d(2x)=(1/2)∫cosudu=(1/2)sinu+C=(1/2)sin2x+C。

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