微积分基本定理揭示了什么跟什么的内在联系(简述微积分基本定理)

1、微积分基本定理揭示了什么跟什么的内在联系。

2、简述微积分基本定理。

3、微积分基本定理又被称为什么定理。

4、叙述微积分学基本定理。

1揭示了定积分和被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

2微积分基本定理简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

微积分基本公式：

1、第一基本定理

2、第二基本定理

对微积分基本定理比较直观的理解是：把函数在一段区间的“无穷小变化”全部“加起来”，会等于该函数的净变化，这里“无穷小变化”就是微分，“加起来”就是积分，净变化就是该函数在区间两端点的差。

扩展资料：

推广

不需要假设 f 在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明：如果 f 是区间［a, b]内的任何一个勒贝格可积的函数，x0是［a, b]内的一个数，使得 f 在 x0连续，则

在x = x0是可导的，且F'(x0) = f(x0)。我们可以把f的条件进一步降低，假设它仅仅是可积的。这种情况下，我们便得出结论：F几乎处处可导，且F'(x)几乎处处等于f(x)。

这有时称为勒贝格微分定理。定理的第一部分对于任何具有原函数F的勒贝格可积函数f都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）。泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。

辅助定理--费马引理：

函数f（x）在x0的某临域内有定义，且在点x0处函数有导数，如果对于所有的f(x)>(<)=f(x0)，那么，f(x)在点x0处的导数为0；

罗尔定理：

函数f（x）满足：

1、在[a,b]上连续

2、在(a,b)上可导

3、f(a)=f(b)

那么，在x属于（a，b）的范围内，必有点δ满足导数为0

拉格朗日定理：

函数f（x）满足 ：

1、在闭区间a，b上连续

2、在开区间（a，b）上可导

那么，在x属于（a，b）的的范围内，有f（b）--f（a）=（b-a）X（函数f（x）在δ点的导数）

柯西中值定理：

函数f(x)、g(x)满足

1、在a，b上连续

2、在（a，b）上可导

3、对任意x属于（a，b），g(x)的导数！=0

那么，存在点δ属于（a，b），满足f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(δ)/g'(δ)

微积分公式这里不好输入，你还是从参考书或课本上找吧。。。

1、在该定理的证明过程中用到了f(x)的连续,如果没有连续这个条件,后面的证明过程就不成立了2、如果将条件换成可积,结论是不对的例如分段函数

f(x)=x x≠1

2 x=1

这个函数只有一个可去间断点,因此在[0,2]内是可积的,但是这个函数的原函数不存在,因此微积分基本定理中的连续不能换成可积

注：连续==>可积,连续==>原函数存在,但原函数存在与可积是两码事,不一样的原函数存在不一定可积,可积也不一定原函数存在

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x)

=

∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx<a,b>表示从a到b的定积分。

首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。

证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到

Φ(x+Δx)

=

∫f(t)dt<a,x+Δx>

=

∫f(t)dt<a,x>

+

∫f(t)dt<x,x+Δx>

=Φ(x)

+

∫f(t)dt<x,x+Δx>

即

Φ(x+Δx)

-

Φ(x)

=

∫f(t)dt<x,x+Δx>

应用积分中值定理，可以得到

Φ(x+Δx)-

Φ(x)

=

μΔx

其中m<=μ<=M，m、M分别为f(x)在[x,Δx]上的最小值和最大值，则当Δx->0时，Φ(x+Δx)

-

Φ(x)->0，即

lim

Φ(x+Δx)

-

Φ(x)

=

0（当Δx->0）

因此Φ(x)为连续函数

其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为

Φ'(x)

=

f(x)

证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得

f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε

由于t属于[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε当t属于[x,x+Δx]时恒成立，因此得到

f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε

由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到

f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε

即|μ-f(x)|<=ε

由于Φ(x+Δx)

-

Φ(x)

=

μΔx，可以得到，当Δx->0时，

Φ'(x)

=

lim

[Φ(x+Δx)-

Φ(x)]/Δx

=

lim

μ=

f(x)

命题得证。

由以上可得，Φ(x)就是f(x)的一个原函数。设F(x)为f(x)的任意一个原函数，得到

Φ(x)=F(x)+C

当x=a时，Φ(a)=0（由定义可以得到），此时

Φ(a)=0=F(a)+C

即C=-F(a)

得到

Φ(x)=F(x)-F(a)

则当x=b时，Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>，得到

Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>

=

F(b)-F(a)。

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

微积分的基本公式共有四大公式:

1牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式

2格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分

3高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分

4斯托克斯公式，与旋度有关

这四大公式构成了经典微积分学教程的骨干，可以说起到提纲挈领的作用，其实如果你学习了外代数，又称为格拉斯曼grassmann代数,用外微分的形式来表达，四个公式就是一个公式，具有统一的形式，其余的导数公式，积分公式，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒级数、麦克劳林展开式，当然也是基石了

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。

首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。

证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到

Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt + ∫f(t)dt

= Φ(x) + ∫f(t)dt

即

Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt

应用积分中值定理，可以得到

Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx

其中m0，即

lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）

因此Φ(x)为连续函数

其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为

Φ'(x) = f(x)

证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|

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