由隐函数存在定理可知，在对连续可微的前提下，只须便足以保证也对连续可微。这样，连续可微函数组便在雅可比行列式不等于零的条件之下，在每一对相应点u与x的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。
雅可比行列式在积分坐标变换中的应用邹泽民系统论述雅可比行列式在函数积分学的坐标变换中的重要应用。因为（x，y）和（u，v）之间的关系未必是线性的关系，只有可逆的线性关系才能确保把直线映成直线，一般只能做到把直线映成曲线。
最常用的就是二重积分中的极坐标代换和三重积分的球坐标代换和柱面坐标代换，这个都是用雅可比行列式得出的，另外高数中确定隐函数F（x，y，z）=0所确定的函数的导数，也是由雅可比行列式得出的。
含义
如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负（其正负号标志着u-坐标系的旋转定向是否与x-坐标系的一致）。这样。连续可微函数组便在雅可比行列式不等于零的条件之下，在每一对相应点u与x的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。
这个问题不太清楚你想表达的是什么
注意到一点,你既然是要在vou平面上积分,那么他的积分变元当然就是u和v
所以显然乘的是偏（x,y）/偏（u,v）
如果你乘的的偏（u,v）/偏（x,y）的话,那么你是将u,v理解成x和y的函数那么偏（u,v）/偏（x,y）=F(x,y)你怎么对u和v做积分呢
在一重积分的时候，交换积分上下限积分的值是变号的，这样就不用老关注积分上下限合不合适等问题，扩展到对坐标的曲线积分什么的也比较方便。
但二重积分的时候是对面积的积分，是对面积的积分，面积是一个恒为正数的数，所以换成先后对y、x（或者x、y）的两次积分的时候积分上下限都是小的那个做下限，大的那个做上限。这时候用积分上下限来表示积分值的正负号也不方便了（比如正着积y，负着积x，这能代表什么呢？好像什么也代表不了。）所以在对坐标的面积积分的时候就用面的法线和坐标轴的夹角正负来表示积分值的正负了。
扯了这么多，在二重积分的变换中，因为面积恒为正数，所以积分的面积元素dσ在变换时也要保证恒为正数。如果令雅可比式取绝对值，就不用担心比如当x换成ξ=-x的时候积分上下限该如何取值，直接从新元的下限积到上限就行。
当然，你可以重新定义二重积分和它的换元，把上下限考虑进去的那种，那时候雅可比式可能就不是去掉正负号就行（宝宝没仔细看），而且新元的上下限积分要考虑旧元的上下限也比较麻烦（x型域可不一定转换成ξ型域，要是不行你还得切分）
具体的推导在高数书上二重积分换元法那一节上有别的书可能也有。
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