无界函数的柯西判别法

无界函数的广义积分：无界函数反常积分的概念，柯西判别法 定义。设函数 在 点的任一左领域无界，但对于任意充分小的正数 ， 在上可积，即存在。如果存在，那么称此极限值是无界函数从到的反常积分。柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

这个是不一定

先举个 无界函数和有界函数相乘 是 有界函数的例子：

y=sinx (有界） h=1/x (无界）

yh= sinx / x

因为 当|x|>=1 时 |sinx / x|<1

当 |x|<1时 又有： |sinx| <|x| ,不明白的话 你画个单位圆。

或者 你查查 这个极限 lim(sinx / x)=1 x→0 怎么来的就懂了。

综上可以看出 |sinx /x |<=1 有界

又比如 : y= x (无界） h= 0 （有界）

yh=0 有界

再举个 无界函数和有界函数相乘 是 无界函数的例子：

y=x h=2

yh=2x

或者： y= 1/x h=cosx （有界）

yh= cosx /x (无界）

因为不论积分区间分得有多细,在函数无界瑕点所在小区间Δxi,必存在某介点ξi 使得：|f(ξi)Δxi|可以大于事先指定的任何一个正数 M ,从而必无法满足可积的基本定义：只要积分区间分得足够细,对任意介点选取,和式趋于极限值

∴无界函数一定不可积

无界函数可能有子列，子列有极限，那么它就不是无穷大(利用函数极限与数列极限的关系)。

比如f(x)=xcosx在(-∞,+∞)内无界，但不是x→+∞时的无穷大。

存在数列Xn=2nπ，f(Xn)=2nπ→+∞(n→∞)，所以{f(Xn)}无界，从而函数f(x)在(-∞,+∞)内无界。

存在数列Yn=2nπ+π/2，f(Yn)=0，所以函数f(x)不是x→+∞时的无穷大。

函数有界性的充分必要条件是必须既有上界，又有下界。因为这是有界函数的定义。也就是说规定了这样的函数才是有界函数。

解题过程如下：

设函数f(x)在数集X有定义

试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。证明：

充分性：若f(x)上界 M 下界N

则：|f(x)|<=Max{M,N}

扩展资料：

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x）， arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。

函数的值区别：

无穷大：函数的值无止境的大下去，无限度地大下去。

但是，不可以正负无穷大之间波动。

有界：函数的值在一个范围内。

无界：函数的值不在任何范围内。

极限：函数的值逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”A值就是界限。

扩展资料：

1、微积分介绍：

（1）微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

（2）微分学的主要内容包括极限理论、导数、微分等。

（3）积分学的主要内容包括定积分、不定积分等。

（4）从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。

2、冯·诺依曼对微积分的评价：

微积分是现代数学的第一个成就，而且怎样评价它的重要性都不为过。

微积分比其他任何事物都更清楚地表明了现代数学的发端；而且，作为其逻辑发展的数学分析体系仍然构成了精密思维中最伟大的技术进展。

3、阿蒂亚对微积分的评价：

人们要求降低微积分学在科学教育中的地位，而代之以与计算机研究关系更密切的离散数学的呼声日渐高涨。

许多离散现象的重要结果还是通过使用微积分才得到了最好的证明。

直到现在，分析无穷性的微积分学的中心地位仍然是无可争议的。

参考资料来源： 百度百科-极限

参考资料来源： 百度百科-无界函数

参考资料来源： 百度百科-有界函数

以上就是关于无界函数的柯西判别法全部的内容，包括:无界函数的柯西判别法、无界函数和有界函数相乘还是无界函数吗如何证明、函数无界一定不可积，函数有界是可积的必要条件等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！