线性代数初等变换的方法

初等变换是线性代数中最基本的方法，它体现了线性代数的本质——加法与数乘。在解决线性问题如求矩阵逆、解线性方程组、计算行列式等都具有步骤简单、运算量小、易于掌握等优点。然而，正如西安交通大学的邓建中教授在《工科线性代数流行教材的失误及修改意见》一文中指出的那样，近年涌现的一些线性代数教材却大都忽略了这一点，而将行列式法当作讲授重点，过于留恋行列式的计算技巧，给学生的学习增添了麻烦，对初等变换却轻描淡写。其次，有的教材冷落线性方程组的向量形式，增添麻烦。例如线性方程组可写成矩阵形式AX=b或0，也可写成向量形式 或0。其中 是A的列向量。当我们要判断向量组 是否线性相关时，由定义写出 ，根据方程组的向量形式，既判断此方程组是否有非零解，故只需对其系数矩阵作初等变换，化为阶梯形就一目了然。“行初等变换不改变列向量间的线性关系”是一个很有用的结论，很多教材却没有提及，有些也是针对特殊情况略加表述。另外，有的教材将行与列相提并论，令人迷惑。众所周知，行、列变换都不改变矩阵的秩，但对于解线性方程组却只有行变换不改变解。判断向量组的线性相关性、解方程组这类问题中应当只用行变换，少用列交换，绝对不可用列变换。因此，在参阅一些有关线性代数内容的专著后，本文拟以初等变换为主线，并将其贯穿全文，加强矩阵与向量形式的应用，针对线性代数中的各类问题，主要介绍初等变换法，着重讨论初等变换在不同场合的不同应用，尝试打破传统的编写秩序，形成以初等变换为主线的线性代数层次结构。1 初等变换在线性方程组中的应用 在线性代数中，初等变换是一种基本的运算手段，它可以用来解决诸如矩阵的秩、线性方程组的求解、行列式的计算等各类计算问题，可以大大简化计算过程，减少计算量。在解决某些重要问题，如线性相关、矩阵的逆时，它也是一种重要的手段。 11 初等变换与消元法 解线性方程组的方法——消元法，是将已知的线性方程组转化为一个等价的线性方程组，在此方程组中每一个方程的第一个非零系数总位于前一个方程的第一个非零系数的右边。这时称此方程组处于阶梯形，例如:阶梯形的线性方程组，将一个方程组转化为阶梯形一般有如下三种操作： I．用一个非零数乘以一个方程; II．用一个数乘以一个方程后，再加到另一个方程上; III．互换两个方程的位置 以上三种操作称为线性方程组上的初等变换。当这些变换连续地施加在任意阶的线性方程组时，总能将方程组转化为另一个等价的线性方程组。下面我们将一个已知的线性方程组转化为阶梯形的过程描述如下： 设 是某一 线性方程组中的变量 第一步：选择第I个方程，且其中 的系数不为零，若第一个方程满足条件则止，否则将第一个方程与第I个方程互换，第二步：对 进行 运算，使其中的 系数化为1 第三步：进行 变换，以消去除第一个方程之外的所有方程中的项 第四步：先将当前的第一个方程忽略，对其余的消去 项的方程重复执行第一、二、三步连续地进行这种消元法，直到仅剩一个方程，消元过程到此为止 当将一个方程组化为阶梯形后，求其解便成了一个简单问题，我们以采用向后迭代法，从最后一个方程入手，由下至上移动逐个求出方程的解。可以说，消元法是解线性方程组最重要的方法之一，而初等变换则是消元法的基石，没有初等变换也就没有了消元法。

1首先你的问题指向不明，我们在解决矩阵有关问题的时候，势必会用到矩阵的一些基本的变换，根据题目的要求，我们会把矩阵化为需要的形式。大家都知道，一个可逆矩阵可以通过（行or

列）初等变换可以化为一个对角矩阵，例如将之化为单位矩阵e就是一个特例。在求解矩阵的秩或者解方程组，又或是矩阵向量，还是线性相关无关性的时候，多少要用到一点初等变换，用行初等变换法求解一个矩阵的可逆矩阵，便是一个推广，所以说，要是说初等变换实质，那么就是把复杂的矩阵化为简单可求的矩阵，毕竟，我们学习高等代数，学习这一章节，靠的是这种方法来解决问题，而不是靠实质。很多高代教科书不交代其实质，就是不想让学生钻牛角尖，因为这种方法对不同题目要不同对待，防止定势思维解题。

2显然初等变换有3种：

换法变换：交换矩阵两行（列）

倍法变换：将矩阵的某一行（列）的所有元素同乘以数k

消法变换：把矩阵的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上

但是注意：矩阵的初等变换可以类似行列式的初等变换类推过来，只是有以下不同：

换法变换：交换行列式阵两行（列，行列式要变号

倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k，新的行列式的值是原来的k倍

消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。

行列式的初等变换？楼主的这个说法就是错误的，行列式只有利用性质化简这一说，矩阵才有使用初等变换解题这个说法。

使用行列式的性质化简：

1，把第二行的-1倍加到第一行；

| x x x |

|2x-1 2x-2 2x-3|=0

|3x-2 4x-3 4x-5|

2，分别把第一行的-2倍，-4倍加到第二，三行；

| x x x |

|-1 -2 -3 |=0

|-x-2 -3 -5 |

3，提取x至行列式外；

| 1 1 1 |

x|-1 -2 -3 |=0

|-x-2 -3 -5 |

4，利用性质把第一列除第一行以外的元素全部变为零(第一行加到第二行；第一行的二倍加到第三行，然后第一行的x倍加到第三行)；

| 1 1 1 |

x| 0 -1 -2 |=0

| 0 x-1 x-3 |

5，展开行列式，解得方程：2x(x-1)(x-3)=0，故当x取0，1，3时行列式等于零

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