其实这个只要了解定义就可以轻松证明了。
设E为任意点集，E1为E的闭包，E2为E的内核（即E的内点全体），用E3表示E的边界点，则E3={x|x∈E1，x不属于E2}（这一定义可在任一集合论著作中见到），因此E3=E1-E2。因为E1为闭集（E1包含E的所有聚点），E2为开集（E2中只有E的内点），所以E3=E1-E2为闭集。
集合论是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合：
集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言，集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。
请参考：
首先，适当选择定义可以使证明简化。例如，利用A的闭包是“包含A的最小的闭集合”，由于
A ⊆ B ⊆ B的闭包
B的闭包是闭集，故A的闭包⊆B的闭包。
（即闭包演算子关于包含关系是保序的）
类似可以证明开核演算子关于包含关系是也是保序的，即
A的内部 ⊆ B的内部
或者利用 “x属于A的闭包 当且仅当 x的每个邻域都和A相交” 来验证：
设x属于A的闭包，再任取x的一个邻域U，于是
空集合≠ U∩A ⊆ U∩B
从而x也属于B的闭包。
关于导集，内部也一样验证。
但是我觉得A,B的边界（boundary）好像不一定有包含关系？！
设E是Rⁿ的子集,
其导集E'为可数集
考虑差集E\E'(即在E中而不在E'中的元素全体)
对任意x∈E\E',
存在x的开邻域B(x,δ(x)),
使其中没有其它E中的点(否则x∈E',
矛盾)
于是对任意x,
y∈E\E',
x
≠
y,
有|x-y|
>
δ(x),
|x-y|
>
δ(y),
|x-y|
>
(δ(x)+δ(y))/2
得B(x,δ(x)/2)∩B(y,δ(y)/2)
=
∅,
即x取遍E\E'时,
所得到的B(x,δ(x)/2)两两不交
可知它们包含互不相同的有理点(Rⁿ中各坐标均为有理数的点)
又Rⁿ中的有理点是可数的,
故只有至多可数个B(x,δ(x)/2),
也即E\E'至多可数
而已知E∩E'
⊆
E'为可数集,
故E
=
(E\E')∪(E∩E')也至多可数
可以这样，
作 E-E的导集，得到的是孤立点集
Rn中的孤立点是可数的
而E包含于 E-E导集 并上 E导集
后者是两个可数集的并，所以也可数
所以E可数
孤立点可数是这样的：
对每个点，都可以找一系列以开球，以那个点为圆心，两两相互不相交的圆。
由在每个圆中找一点（q1,q2,,qn）,这些点的坐标全是有理数。
由于，圆不相交，所这组（q1,q2,,qn）,必然互不相等。
这样每个开球对和Qn一个子集对应，每个开球又只有包含一个原来集合点。所以每个点和Qn的一个子集一一对应。对固定的自然数n,Qn是可数的，这是已知结论。
所以，那些点是可数的
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