傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
法国数学家J-B-J傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。
在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。
他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。
扩展资料：
收敛性
傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：
在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。
参考资料：
傅里叶变换性质有线性、位移、微分、积分。
（1）线性性质：函数线性组合的傅里叶变换=各函数傅里叶变换的线性组合
（2）位移性质（shift信号偏移，时移性）：
如：
f（t-t0）表示时间函数f（t）沿t轴向右平移t0，其傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（-iwt0），类似f（t+t0）的傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（iwt0）
而F（w-w0）的表示频谱函数沿w轴向右平移w0，其傅里叶逆变换=F（w）的傅里叶逆变换乘以因子exp（iw0t），反之乘以exp（-iw0t）
3）微分性质：一个函数导数的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换乘以因子iw
（4）积分性质：一个函数积分后的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换除以因子iw
利用傅氏变换的这四条性质，可以将线性常系数微分方程转化成为代数方程，通过求解代数方程和求傅氏逆变换，可得到微 分方程的解。
傅里叶变换的意义和理解如下：
意义：
傅里叶变换是数学中最深刻的见解之一，但不幸的是，它的意义深埋在一些枯燥的方程中。
我们都知道傅里叶级数是一种可以把任意周期函数分解成一堆正弦波的方法。和往常一样，这个名字来自一个生活在很久以前的人，他叫傅里叶。在数学术语中，傅里叶变换是一种将信号转换成频率的技术，即从时域到频域的变换方法。傅里叶变换不仅广泛应用于信号(无线电、声学等)处理，而且在图像分析中也有广泛的应用。如边缘检测，图像滤波，图像重建，图像压缩。为了更好地理解它，考虑一个信号x(t):
如果我们对另一个信号做同样的处理：在同一时刻测量它的振幅。考虑另一个信号y(t):
当我们同时触发这两种信号或者把它们加在一起时会发生什么？
当我们在同一时刻发出这两个信号时，我们会得到一个新的信号，它是这两个信号的振幅之和。因为这两个信号被叠加在一起了。对两个信号求和：z(t) = x(t) + y(t)
如果我们只有一个信号(x(t)和y(t)的叠加信号）我们能分离出x(t)和y(t)吗？
是的。这就是傅里叶变换的作用。它接收一个信号并将其分解成组成它的频率。在我们的例子中，傅里叶变换可以将信号z(t)分解成它的组成频率：信号x(t)和y(t)。
理解：
傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
傅立叶（Fourier,Jean Baptiste Joseph,1768-1830）也译作傅里叶,法国数学家、物理学家 数学方面 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文,推导出著名的热传导方程 ,并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示,从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始其他贡献有：最早使用定积分符号,改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等傅里叶变换的基本思想首先由傅里叶提出,所以以其名字来命名以示纪念从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换傅立叶变换属于调和分析的内容"分析"二字,可以解释为深入的研究从字面上来看,“分析”二字,实际就是"条分缕析"而已它通过对函数的" 条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究从哲学上看,"分析主义"和"还原主义",就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的
傅里叶变换具体的应用如下：
1、图像压缩，可以直接通过傅里叶系数来压缩数据，常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换，傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和，连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件；
2、图像增强与图像去噪，绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频噪声，边缘也是图像的高频分量，通过添加高频分量来增强原始图像的边缘，图像分割之边缘检测，提取图像高频分量；
3、线性的积分变换，将信号在时域或空域和频域之间变换时使用，在物理学和工程学中有许多应用，在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。
傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier， 1768～1830）生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，8岁时沦为孤儿，就读子地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身秘书。傅里叶旱在1807年就写成关于热传导的基本论文，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》（Analytical theory of heat，Paris，1822）。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命名。傅里叶应用三角级数求解热传导方程，同时为了处理无穷区域的热传导问题又导出了现在所称的“傅里叶积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。然而傅里叶的工作意义远不止此，它迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。因此，《热的解析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程。
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。
扩展资料
傅里叶变换的应用：
1、傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；
2、傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；
3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；
4、著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
5、离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。
参考资料来源：百度百科-傅里叶变换
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