什么是偶函数

综述：理解：f(x+1)是偶函数，图象关于y轴（x=0)对称,把它的图象向右平移1个单位，得f(x)图象，对称轴x=0也向右平移1个单位，所以f(x)关于x=1对称。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(Even Function)。

公式：

1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=xx。

2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称。

参考资料来源：百度百科－偶函数

1、奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(EvenFunction)。

2、性质：两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)，那么就称f(x)为奇函数。

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数。

说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇函数。

(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事。为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数。用这个方法判断此函数较为方便。

(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值， 当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数。

(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形。

(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证。例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．

解：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0

则有－x1＞－x2＞0，

∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，

∴f(－x1)＞f(－x2)

又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立，

∴=－f(x1)＞－f(x2)

∴f(x1)＜f(x2)．

∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．

由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同。类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反时f(x)的解析式 。

解 ∵x＜0，∴－x＞0．

又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)．

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