椭圆的参数方程中参数的意义

如图。红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosa，|OB|sina)

所以离心角a就是那条倾斜直线的角。

椭圆的参数方程为：x=acosα；y=bsinα

其中：a代表半长轴的长度，b代表半短轴的长度，α表示与x周正半轴所成的角度（逆时针），且a^2=b^2+c^2，且c/a为椭圆的离心率。

扩展资料：

椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为  （前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a²/b²=1/（e²-1）），可以得出：

在坐标轴内，动点（  ）到两定点（  ）（  ）的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）。

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以  无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

可以这样来想，想象着把圆压扁，那我们得到了是椭圆，这是可以想象的。那差的就是用数学语言把它写出来。

我们考察圆到椭圆变换的特征，无非是半径一个被拉长，一个被缩短。想必你应该知道函数的拉伸压缩的变换吧，就是原来是f(x)=0,换成f(ax)=0,其中a是伸缩的系数，按照这个思路。我们开始对圆动手，圆：X^2+y^2=R^2,把R^2移到左边使得右边为0。即X^2+Y^2-R^2=0,把左边记作f(x,y)

因为我们要同时考虑X

Y。得等式：f(X,Y)=0

。我们考虑变换系数，我们考虑其中的一种，就是把圆延X轴方向拉伸，Y轴方向压缩。对于X来说，半径拉伸系数为R/a,这里要说明的是，我们的变换对圆上的每个点而言的。同理，Y的拉伸系数为R/b，我们按照变换的思路，f(

R/aX,

R/bY

)=0,代入得到：（RX/a）^2+(RY/b)^2-R^2=0

再把等式改写X^2/a^2+Y^2/b^2=1。那圆参数式也是这个改写嘛，圆：X=RCosθ，Y=RSinθ

类比过来，椭圆：R/aX=RCosθ，R/bY=RSinθ

，化解得

X=a

Cosθ，Y=b

Sinθ

由椭圆的参数方程：{x=acosθy=bsinθ}可知M的坐标点是:

M(acosθ,bsinθ),B1,B2的坐标是：B1（0，b),B2(0,-b)

设：P（x1,0),Q(x2,0)

直线MB1方程是：

(y-bsinθ)/((b-bsinθ)=(x-acosθ)/(-acosθ)

==>(0-bsinθ)/((b-bsinθ)=(x1-acosθ)/(-acosθ)

==>x1=abcosθ/(b-bsinθ)

同理可得：x2=abcosθ/(-b-bsinθ)

|OP||OQ|=|X1||X2|

==>|abcosθ/(b-bsinθ)||abcosθ/(-b-bsinθ)|

==>a^2定值

设椭圆方程是

x^2/a^2+y^2/b^2=1

两边对x求导有

2x/a^2+2yy'/b^2=0

y'=-xb^2/(a^2y)

因为求导表示的是切线斜率

性质：

椭圆、双曲线、抛物线各自的性质可参考相应词条，现给出一般圆锥曲线的性质。

定理一：平面内五个点，其中任意三个不共线，则经过这五个点的圆锥曲线有且只有一条。

定理一：平面内五条直线，其中任意三条不共点，则与这五条直线都相切的圆锥曲线有且只有一条。

定理二：（帕斯卡定理）：内接于非退化的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的六边形的三组对边交点共线。

1、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

2、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。

3、离心率： e=√（1-b^2/a²）。

4、离心率范围：0<e<1。

5、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

6、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。

7、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2）≤a+c。

8、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

焦半径

焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex（F1，F2分别为左右焦点）。

椭圆过右焦点的半径r=a-ex。

过左焦点的半径r=a+ex。

焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey（F2，F1分别为上下焦点）。

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A，B之间的距离，即|AB|=2b^2/a。

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