三角形的内心和外心分别是什么

三角形的内心和外心分别是什么

一、三角形的外心

定义：

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

性质：

1三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。

2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。

4OA=OB=OC=R。

5∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA。

6S△ABC=abc/4R。

二、三角形的内心

定义：

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

性质：

1三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

3r=2S/(a+b+c)。

4在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。

5∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2。

6S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)。

定义三角形外接圆的圆心叫做

三角形的外心

．编辑本段三角形外心的性质设⊿abc的外接圆为☉g(r)，角a、b、c的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心

2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合

3、ga=gb=gc=r

3、∠bgc=2∠a，或∠bgc=2(180°-∠a)

4、r=abc/4s⊿abc

5、点g是平面abc上一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：(向量ga+向量gb)

·

向量ab=

(向量gb+向量gc)

·

向量bc=(向量gc+向量ga)

·

向量ca=向量0

6、点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：向量pg=((tanb+tanc)向量pa+(tanc+tana)向量pb+(tana+tanb)向量pc)/2(tana+tanb+tanc)

7、点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：向量pg=(cosa/2sinbsinc)向量pa+(cosb/2sincsina)向量pb+(cosc/2sinasinb)向量pc

8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：(

(c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c

)。9、外心到三顶点的距离相等。10、2r=a/sina=b/sinb=c/sinc。

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