解微分方程

希望下面的解对你的期末学习有所帮助。

题一：

dy/dx=x/y+y/x=(x²+y²)/(xy)

方程两边同乘(xy)dx, 得：

xydy=(x²+y²)dx

xydy-y²dx=x²dx

方程两边再同除x³，得：

ydy/x²-y²dx/x³=dx/x

[1/(2x²)]d（y²）+y²d[1/(2x²)]=d(lnx)

d[（y²）/(2x²)]=d(lnx)

（y²）/(2x²)=lnx+c

y²=(2x²)[ln(x)+c]

y=(√2)x√[ln(x)+c]

由于当x=1时，y=2，代入上式得：

2=(√2)√c，解得：

c=2

最后解得：

y=(√2)x√[ln(x)+2]

题二：

(x²+1)dy/dx+2xy=3x²

方程两边同乘dx，得：

(x²+1)dy+2xydx=3x²dx

(x²+1)dy+ydx²=3x²dx

(x²+1)dy+yd（1+x²）=3x²dx

d[（1+x²）y]=3x²dx=d(x³)

（1+x²）y=x³+c

y=(x³+c)/（1+x²）

题三：

d²y/dx²-2dy/dx-3y=e^(-x)

此方程的一个特解是y=-（x/4）e^(-x)=-（x/4）exp(-x)

又D²-2D-3=(D-3)(D+1)=0,得：D=3，D=-1

所以此题的通解为

y=Aexp(3x)+Bexp(-x)-(x/4)exp(-x)

二次非齐次微分方程的一般解法

一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)

第一步：求特征根

令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）

第二步：通解

1、若r1≠r2，则y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)e^(r1x)

3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)

第三步：特解

f(x)的形式是e^(λx)P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）

则y=x^kQ(x)e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)

1、若λ不是特征根 k=0 y=Q(x)e^（λx）

2、若λ是单根 k=1 y=xQ(x)e^（λx）

3、若λ是二重根 k=2 y=x²Q(x)e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

f(x)的形式是e^(λx)P(x)cosβx或e^(λx)P(x)sinβx

1、若α+βi不是特征根，y=e^λxQ(x)(Acosβx+Bsinβx)

2、若α+βi是特征根，y=e^λxxQ(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）

第四步：解特解系数

把特解的y'',y',y都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。

最后结果就是y=通解+特解。

通解的系数C1，C2是任意常数。

：

微分方程

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。

高数常用微分表

唯一性

存在定一微 分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

微分方程解法总结如下：

一、g(y)dy=f(x)dx形式：

可分离变量的微分方程，直接分离然后积分。

二、可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程：

换元，分离变量。

三、一阶线性微分方程：

dy/dx+P(x)y=Q(x)。

先求其对应的一阶齐次方程，然后用常数变易法带换u(x)。

得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}。

四、伯努利方程dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n：

两边同除y^n引进z=y^(n-1)配为线形一阶非齐次方程。

然后代如通解，最后代入z=y^(n-1)。

五、全微分方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0：

有解的充要条件为ap/ay=aQ/ax。

此时通解为u(x，y)=∫(xo，x)P(x，y)dx+∫(yo，y)Q(x，y)dy=C。

有的方程可通过乘积分因子得到全微分方程的形式。

首先,假设你已经知道啥叫微分方程

一般的微分方程是没办法直接解出精确的解来的

但是我们大多数情况下遇到的方程是可以有现成的解法的具体这里不讲了你只要随便去弄本讲微分方程的书看看就懂了

当然你事先要好好学下数学分析这里推荐《微积分学教程》（菲赫金戈尔兹著,九章数学书店有售）

其实通常情况下,我们并不是直接求方程的精确解,而是把它大致上变成一个差分方程来求近似解我曾经给人详细讲过的：

差分方程实际上只是微分方程的离散化一个微分方程不一定可以解出精确的解当我们把它变成差分方程,就可以求出近似的解来

比如dy+ydx=0 ,y(0)=1 是一个微分方程,x取值[0,1]

(注：解为y(x)=e^(-x));

我把x的区间分割为许多小区间

[0,1/n],[1/n,2/n],[(n-1)/n,1]

这样上述方程可以粗略的简化为：

y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)(1/n)=0,k＝0,1,2,,n-1

利用y(0)=1的条件,以及上面的差分方程,就可以计算出

y(k/n) 的近似值了

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