矩阵的k阶主子式全为负什么意思

主子式是指其对角线元素是原矩阵主对角线元素的子式。k阶子式是k阶的行列式，其元素由在原矩阵中画k条横线、k条竖线，由交叉点上元素（保持位置）组成的k阶行列式。

k阶主子式全为负就是所有可能的k阶主子式的值全为负（这样的主子式数为n个内取k个的组合数）

首先, 由A是正定矩阵, 则A与单位矩阵合同, 故其行列式>0

其次, 设 f(x1,,xn) = X'AX= 和号(i从1到n)和号(j从1到n) aijxixj

构造二次型 f(x1,,xk) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijxixj

则对任意不全为0的数 c1,,ck

f(c1,,ck) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijcicj = f(c1,,ck,0,,0) >0

所以 f(x1,,xk) 是正定的, 其矩阵也是正定的, 由前结论, 其矩阵的行列式>0

而 f(x1,,xk) 的矩阵就是A的第k个顺序主子式

故 A的顺序主子式全大于零

最后, 对A的任一主子式A1, 可经过对换行与列, 调到A的左上角, 得矩阵B

B与A合同, 故B也正定 A的主子式就是B的顺序主子式, 故也大于0

事实上,A是正定矩阵的充分必要条件是A的主子式全大于零

这是书上定理吧, 北大高代里就有,

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