一、从定义区分：
1、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。
2、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。
3、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。
4、五维空间的定义：五维空间即时间、空间层次的统一。
二、从属性区分：
1、二维空间的属性：既有长度又有宽度。
2、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。
3、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。
4、五维空间的属性：空间和时间各为横轴和纵轴，再加上速度为竖轴。
空间相关资料：
1、空间基本信息
空间是与时间相对的一种物质客观存在形式，由长度、宽度、高度、大小表现出来。通常指四方上下。
空间有宇宙空间、网络空间、思想空间、数字空间、物理空间等等，都属空间的范畴。
地理学与天文学中指地球表面的一部分，有绝对空间与相对空间之分。
空间由不同的线组成，线组成不同形状，线内便是空间。
空间是一个相对概念，构成了事物的抽象概念，事物的抽象概念是参照于空间存在的。
2、维空间基本信息
一维空间是指只有一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。一维实际是指的是一条线，也可理解为点动成线，指没有面积与体积的物体。
3、二维空间基本信息
二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。
二维空间同时也是美术上的一个术语，例如绘画便是要将三维空间（三度空间）的事物，用二度空间来展现。
4、三维空间基本信息
三维空间，也称为三次元、3D，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。
而且日常生活中使用的“三维空间”一词，常常是指三维的欧几里德空间。
5、四维空间基本信息
四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。
人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。
通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。
6、五维空间基本信息
时间层次和传统三维空间统一的空间。
与传统物理学三维空间观、爱因斯坦相对论四维空间观相对而言的新的空间观，是空间观发展的最新成果，也是前者发展的必然结果。
四维就是四个有联系的抽象概念组成的，第四个抽象概念是实时间，第四联系值为速度，而五维是由五个有联系的抽象概念组成的，第五个抽象概念是曲率。
首先你得理解基的作用。
一般的向量是比较抽象和绝对的概念，引入了基之后向量就可以用相对于这组基的坐标来表示，这样就把抽象的向量转化到具体的坐标（也就是一组数）。
在有了基之后抽象的线性变换也就可以用具体的矩阵来描述了。
这里的道理是一样的，用Gram矩阵可以把抽象的内积转化到一组具体的数。
比如说e_1,e_2,,e_n是V的一组基，若向量a和b在这组基下的向量分别是x和y，记E=(e_1,e_2,,e_n)，那么形式上就有a=Ex，b=Ey，而它们的内积恰好就是
<a,b>=(Ey)^H(Ex)=y^HGx
这里G=E^HE就是Gram矩阵，跳过中间的形式推导，内积运算就转化到了矩阵乘法。
当然，形式推导也可以严格化，一种方式是直接按分量来写，另一种方式是对向量直接定义诸如转置共轭和乘法运算。
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