函数F(x)是定义域A到值域B的一种特殊的映射。
映射F：A——>B，F就是函数三要素中的对应法则，它实际上是一种算法。比如F(x)=2x+1，F就表示x的2倍再加1这样一种算法。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数性质：
二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
1、列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。列表法也有它的局限性：在于求解范围小，适用题型狭窄，大多跟寻找规律或显示规律有关。比如，正、反比例的内容，整理数据，乘法口诀，数位顺序等内容的教学大都采用“列表法”。
2、解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问提中的函数关系，不能用解析式表示。
3、图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法。
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函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
参考资料：
生存分析最早可追溯至19世纪的死亡寿命表，但现代的生存分析则开始于20世纪30年代工业科学中的相关应用。第二次世界大战极大地提高了人们对武器装备可靠性的研究兴趣，这一研究兴趣延续到战后对武器装备及商品的可靠性研究。此时生存分析的大多数研究工作都集中在参数模型，直至20世纪60～70年代，随着医学研究中大量临床试验的出现，对于生存分析的研究开始转向非参数统计方法。现在，生存分析方法在各个领域得到了广泛的应用，而这一方法本身也得到了飞速发展。
生存分析广泛应用于生物医学、工业、社会科学、商业等领域，如肿瘤患者经过治疗后生存的时间、电子设备的寿命、罪犯假释的时间、婚姻的持续时间、保险人的索赔等。这类问题的数据特点是在研究期结束时，所要研究的事件还没有发生，或过早终止，使得要收集的数据发生缺失，这样的数据即称为生存数据。生存分析就是要处理、分析生存数据。
二、理论思想
我们前面所学习的方法，只关注研究结果与影响因素，并没有关注结局发生的时间，而时间是一个绕不开的因素，当我们将研究结局与结局发生的时间同时进行考虑时，就采用生存分析方法。
生存分析的一些基本概念：
生存时间：指从某个起始事件开始，到出现我们想要得到的终点事件发生所经历的时间，也称为失效时间。生存时间具有的特点：分布类型不确定，一般表现为正偏态分布；数据中常含有删失数据。SPSS中通常把完全数据的示性函数取值为0。
完全数据：指从事件开始到事件结束，观察对象一直都处在观察范围内，我们得到了事件从开始到结束的准确时间。
删失数据：指在研究分析过程中由于某些原因，未能得到所研究个体的准确时间，这个数据就是删失数据，又称为不完全数据。产生删失数据的原因有很多：在随访研究中大多是由于失访所造成的；在动物实验研究中大多由于观察时间已到，不能继续下去所造成的。SPSS中通常把删失数据的示性函数取值为1。
截尾数据：截尾数据和删失数据一样，提供的也是不完整信息，但与删失数据稍有不同的是它提供的是与时间有关的条件信息。SPSS软件只考虑对完全数据和删失数据的分析，对截尾数据不提供专门的分析方法。
生存概率：表示某单位时段开始时，存活的个体到该时段结束时仍存活的可能性。计算公式为：生存概率=活满某时段的人数/该时段期初观察人数=1-死亡概率。
生存函数：指生存函数指个体生存时间T大于等于t的概率，又称为累积生存概率，或生存曲线。S（t）=P（T>t）=生存时间大于等于t的病人数／随访开始的病人总数。S（t）为单调不增函数，S（0）为1，S（∞）为0。
半数生存时间：指50%的个体存活且有50%的个体死亡的时间，又称为中位生存时间。因为生存时间的分布常为偏态分布，故应用半数生存时间较平均生存时间更加严谨。
风险函数：指在生存过程中，t时刻存活的个体在t时刻的瞬时死亡率，又称为危险率函数、瞬时死亡率、死亡率等。一般用h（t）表示。h（t）=死于区间（t，t+∆t）的病人数／在t时刻尚存的病人数×∆t。
按照使用参数与否，生存分析的方法可以分为以下3种。
参数方法，数据必须满足相应的分布。常用的参数模型有：指数分布模型、Weibull分布模型、对数正态分布模型、对数Logistic分布模型、Gamma分布模型。
半参数方法，是目前比较流行的生存分析方法，相比而言，半参数方法比参数方法灵活，比非参数方法更易于解释分析结果。常用的半参数模型主要为Cox模型。
非参数方法，当被研究事件没有很好的参数模型可以拟合时，通常可以采用非参数方法进行生存分析。常用的非参数模型包括生命表分析和Kalpan-Meier方法。
目前生存分析最常用的方法即寿命表法、Kaplan-Meier法和COX回归法。
三、建立模型
寿命表分析的思路：
生命表反映的是一代人在整个生命历程中的死亡过程，即在某个特定的年龄段内有多少人死亡，通过计算可以得知人群在该时点的死亡概率为多少、预期寿命为多少等。
生命表的基本思想是将整个观测时间划分为很多小的时间段，对于每个时间段，计算所有活到某时间段起点的病例在该时间段内死亡（出现结局）的概率。
因此，当资料是按照固定的时间间隔收集（如一个月随访一次）时，随访结果只有该年或该月期间的若干观察人数、发生失效事件人数（出现预期观察结果的人数）和截尾人数（删失人数），每位患者的确切生存时间无法知道，就需要构造生命表进行分析。
生命表用于大样本，并且对生存时间的分布不限，是目前广泛应用的一种非参数分析方法。。
寿命表分析案例：
题目：下表数据文件记录了某保险公司各部门员工的在职情况，统计的部门有承保部、理赔部、人事部和理财部4个部门，其中“部门”变量中用数字1~4分别表示承保部、理赔部、人事部和理财部，“是否在职”变量中用1表示在职，0表示不在职，接下来本书将利用寿命表过程得出各个部门员工的“生存”（在职）情况。
一、数据输入
二、操作步骤
1、进入SPSS，打开相关数据文件，选择“分析”|“生存分析”|“寿命表”命令2、从源变量列表框中选择“工作时间”变量，“时间”列表框中，然后设置时间区间的“0到(H)”值为60，“按(Y)”为3。
3、从源变量列表框中选择“是否在职”变量，选入“状态”列表框中，然后单击“定义事件”按钮，弹出“寿命表：为状态变量定义事件”对话框。由于数据文件中用1表示事件发生，所以选中“单值”单选按钮，并在其后面的文本框中输入1，将取值为0的观测作为截断观测，单击“继续”按钮。
4、从源变量列表框中选择“部门”变量，选入“因子”列表框中，然后单击“定义范围”按钮，弹出“寿命表：定义因子范围”对话框，在“最小值”文本框中输入1，在“最大值”文本框中输入4，单击“继续”按钮。
5、单击“选项”按钮，弹出“寿命表：选项”对话框，选中“寿命表”和“生存分析”复选框，“比较第一个因子的级别”选项组采用默认设置。
6、其余设置采用系统默认值即可。单击“确定”按钮，等待输出结果。
四、结果分析
1、寿命表给出了员工在职年限寿命表输出结果（部分截选图）。该寿命表给出了4个部门对应时间内的在职和不在职员工数，并计算出员工在职比率等统计量。
2、生存分析时间中位数下表给出了4个部门员工的生存时间中位数，即生存率等于50%时，生存时间的平均水平。很明显，由图可知，该保险公司4个部门的员工有50%的员工在职时间超过60个月。
3、累计生存函数给出了4个部门员工是否在职累计生存函数图，它是对生命表的图形展示。由图可以清楚地看到，承保部和理财部两个部门员工累计生存率下降最快，理赔部员工累计生存率下降速度低于人事部员工。
是的
例如示性函数：
sgn(x)={0 , x=0
{x/|x| , x≠0
在x=0的两侧极限都存在：
lim (x->0-) sgn(x) = -1
lim (x->0+) sgn(x) = 1
单侧保号性成立：
因为当x<0时，sgn(x)=-1<0
当x>0时，sgn(x)=1>0
其实只要极限存在，在极限存在的区域内，保号性就自然存在了
这个是因为保号性的证明过程中，并不涉及区域的改变，原来是什么区域内极限存在，那就在这个区域内保号性成立了
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同。传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。
假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数的由来：
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”
中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。
但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
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