a31就是划去行列式的第3行第1列后（剩下的元素按照原来的顺序排列）所得到的代数余子式。由于现在所要求的是代数余子式的和，而不是通过展开这个行列式的第3行来求行列式的值。也就是说位于第3行1列的元素无论取1或2或3或时，都不会影响a31的值。（因为a31是划去第3行第1列）。类似地，位于第3行2列的元素无论取1或2或3或时，都不会影响a32的值。（因为a32是划去第3行第2列）。那么a33,a34也是如此，都是划去第3行这一整行和第i列。既然a3i无论取任何值都不会影响到a3i，那么就可以想办法去构造一个行列式，使它的值为a31+3a32-2a33+2a34。由于待求式a3i的系数分别为1，3，-2，2，所以可以将第三列替换成1，3，-2，2，（因为代数余子式有正负，所以这里应注意考虑符号），通过计算构造出来的行列式的值来求出a31+3a32-2a33+2a34。a31展开时为正（-1的3+1次方）所以a31=1；a32展开时为负（-1的3+2次方），所以a32=-3；a33展开为正，所以a33=-2；a34展开为负，所以a34=-2。回过头看，计算一下构造出来的这个行列式（按第3行展开），记余子式为mij。a31=1，划去第3行第1列得到m31，所以a31a31=1（-1）的（3+1）次方m31=a31；a32=-3，划去第3行第2列得到m32，所以a32aa31就是划去行列式的第3行第1列后（剩下的元素按照原来的顺序排列）所得到的代数余子式。由于现在所要求的是代数余子式的和，而不是通过展开这个行列式的第3行来求行列式的值。也就是说位于第3行1列的元素无论取1或2或3或时，都不会影响a31的值。（因为a31是划去第3行第1列）。类似地，位于第3行2列的元素无论取1或2或3或时，都不会影响a32的值。（因为a32是划去第3行第2列）。那么a33,a34也是如此，都是划去第3行这一整行和第i列。既然a3i无论取任何值都不会影响到a3i，那么就可以想办法去构造一个行列式，使它的值为a31+3a32-2a33+2a34。由于待求式a3i的系数分别为1，3，-2，2，所以可以将第三列替换成1，3，-2，2，（因为代数余子式有正负，所以这里应注意考虑符号），通过计算构造出来的行列式的值来求出a31+3a32-2a33+2a34。a31展开时为正（-1的3+1次方）所以a31=1；a32展开时为负（-1的3+2次方），所以a32=-3；a33展开为正，所以a33=-2；a34展开为负，所以a34=-2。回过头看，计算一下构造出来的这个行列式（按第3行展开），记余子式为mij。a31=1，划去第3行第1列得到m31，所以a31a31=1（-1）的（3+1）次方m31=a31；a32=-3，划去第3行第2列得到m32，所以a32a32=-3（-1）的（3+2）次方m32=3a32；类似得a33a33=-2a33,a34a34=2a34。构造出来的行列式就是待求式的值。
代数余子式是有负号的，余子式没有。
代数余子式，是指在n阶行列式中，把元素ai所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式与-1的o+e次幂的积。
一个元素aₒₑi的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。
在n阶行列式D中划去任意选定的k行、k列后，余下的元素按原来顺序组成的n-k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式A的余子式。如果k阶子式A在行列式D中的行和列的标号分别为i1，i2，…，ik和j1，j2，…，jk。则在A的余子式M前面添加符号。
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