解
先求法线方程
y^2=2px
y'=p/y
所以k=1
所以法线斜率为-1
所以法线方程为
y=-x+3/2p
求两曲线的交点
y^2=2px
y=-x+3p/2
交点为[p/2
p]
[9p/2
-3p]
所以
图形的面积为
A=∫p
-3p[(3p/2-y)-y^2/2p]dy=16/3
p^2
希望对你有帮助
欢迎追问
求解如下：
根据题意画出图形，先求出曲线在该点的导数值：
2yy′=2p，y′=1；
写出法线方程：y-p=-(x-1/2p);
从而有：y=-x+3/2p；
解出曲线与法线相交的另一点坐标：
方程组为：y=-x+3/2p；y^2=2px
解方程组得：交点坐标为：(9/2p，−3p)；
再算二重积分，即面积：
S=∫[p,−3p]dy·∫[3/2p-y,y^2/2p]dx
=∫[p,−3p](3/2p-y-y^2/2p)dy
=16/3p^2
即：抛物线y²=2px及其点(p/2,p)处的法线所围成的图形的面积为：16/3p^2。
扩展资料：
求多条曲线围成的面积的步骤：
1、根据曲线方程，在坐标系中绘制两条曲线；
2、求出两条曲线的交点坐标，得到相交所得面积的变量取值范围；
3、列出求面积的定积分式子，该定积分式子的被积函数由两曲线方程相减得到；
4、解出定积分式子，解出的值即为两条曲线相交围成的面积大小。
曲线的导数就是曲线在点x=xo处的斜率
y=x²,y'=2x
当x=1,y=1,把x值代入y'中
y'(1)=21=2
∴切线斜率为2。
用点斜式方程:y-1=2(x-1)
解得切线方程是2x-y-1=0
切线与法线互相垂直,他们乘积为-1,∴法线斜率=-1/2
用点斜式方程:y-1=(-1/2)(x-1)
解得法线方程是x+2y-3=0
简介
P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）。
说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线。
对y^2=2px①求导得
2yy'=2p,
-1/y'=-y/p,
过点A（t^2/(2p),t)的法线：y-t=-t/p[x-t^2/(2p)],
即x=t^2/(2p)-p(y-t)/t，②
代入①，y^2=t^2-2p^2(y-t)/t,
(y-t)(y+t+2p^2/t)=0,
y1=t,y2=-(t+2p^2/t),
代入②，x1=t^2/(2p),
x2=t^2/(2p)+p(2t+2p^2/t）
所求线段长L=√[p^2(2t+2p^2/t)^2+(2t+2p^2/t)^2]
>=4|p|√(p^2+1),
当t=土p时取等号，
∴所求最小值=4|p|√（p^2+1)
抛物线结论是由抛物线开口方向确定a。由对称轴的位置确定bab，由抛物线与y轴的交点位置确定c，由抛物线与x轴的交点个数确定b2减4ac，由对称轴为x等于正负1时确定2a加减b，特殊式子集锦。
抛物线的定义
抛物线是指平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫抛物线的焦点定直线叫抛物线的准线，法线的法主要是指规则，规律标准准线满足一定规则的线，在特定的领域叫做法线，抛物线在某点的法线是指曲线在一点的法线即这点切线的过这点的垂线。
在数学中抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形，适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线，抛物线的一个描述涉及一个点和一条线焦点并不在准线上。
焦点在y轴上，抛物线：2px=y^2，它的准线为：y=-p/2
焦点在x轴上，抛物线：2py=x^2，它的准线为：x=-p/2
抛物线的相关结论：
当A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y2=2px上，则有：
直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ， y1y2 = -p²；（当A，B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p² ， y1y2 = p²/4 ， 要在直线过焦点时才能成立）
扩展资料
有关切线、法线的几何性质
（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。
（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。（为性质（1）第二部分的逆定理）
（3）设抛物线上一点P的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。
（4）设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。
（5）抛物线的三条切线所围成的三角形，其外接圆经过焦点。即：若AB、AC、BC都是抛物线的切线，则ABCF四点共圆。
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