洛必达法则使用前提条件,使用洛必达法则的情况

洛必达法则的使用条件（详解洛必达法则）

今天我们要复习的是罗必达定律，这个定律非常重要，出现在很多问题的求解中。虽然很多知识点在多年后都还给老师了，但我依然记得高一那年数学老师在讲台上慷慨激昂的样子。

上一篇文章我们复习了微分中值定理，今天的洛必达法则其实就是微分中值定理的经典应用。所以忘记了或者新关注的同学可以点击下面的链接来回顾上一篇文章的内容。

用处

我们学习的目的往往很简单，就是学以致用。之前一直觉得这个想法有些现实。后来发现，很多学了以后用不上的知识，已经忘得差不多了。所以，虽然心态要摆正，但是操作的时候可以踏实一点。先从有用性入手，或许能更好的理解。

洛必达定律的应用场景很简单，就是可以解决一些不能一下子解决的极限问题。不知道你有没有注意到，不管你在什么领域，总有一些问题是不能一下子解决的。随着对这些问题的研究，我们的技术和理论不断完善，工作不断简化，效率越来越高。无论是数学某个领域的突破，还是计算机中某些工具的迭代和进化，都是如此。

我们在上一篇文章中谈到了一个关于极限的例子:

在这个问题中，由于当x趋于0时，sinx和x都趋于0，所以我们要计算0除以0的结果。当时为了解决这个问题，我们用了夹点法，进行了缩放，才得到极限。类似的限制还有很多。问题本质上是当分子和分母都趋于0时，我们很难计算出结果。

我们以X/X 2为例。这个问题很简单。只要粗略划分，就是1/x的极限，当X趋于0时，显然1/x趋于无穷大。但是如果不预约呢？是极限0除以极限0的问题。与上面的结果不同，它的比结果是无穷的。

洛必达定律的出现解决了这些极限问题。

定义

洛达定律的本质是一个定理，它规定如果一个形状像

的限制，如果它满足:

当 x趋于常数A时，函数f(x)和F(x)都趋于0。

在A点的偏心邻域内，f(x)和F(x)的导数都存在，F'(x)不等于0。

lim f'(x)/F'(x)

所以:

即当变量趋于常数时，如果分子分母函数的导数存在，那么我们可以用导数的极限比代替原函数的比值。

让我们试着证明这个定理。如果复习一下微分中值定理，这个定理的证明就很简单了。我们来试着证明一下。

证明

因为函数在A点的偏心邻域内是可导的，也就是说函数在A点的这个偏心邻域内是连续的.然后我们应用柯西中值定理，当x趋于A时，可以在区间(A，x)内找到一个点ξ，这样:

快到了，因为少了一个条件。书中解释，由于函数比的极限与函数值无关，所以可以假设f(a)和F(a)等于0。个人觉得有点不厚道，和写容易证明，在证明过程中容易得到是一样的。其实我们要做的就是把两者做一个差，证明差等于0。

通过后，您可以获得:

这里不难看出，当x趋于A时，上述差值趋于0，所以:

由于X趋向于A，ξ也趋向于A，那么我们得到:

尝试

在我们学习了罗比塔定律之后，我们可以学习并利用它来解决一些困难的极限问题。比如我们刚才举的例子就不再是问题了。

看另一个:

我们在这里还是得不到结果。看来我们被卡住了。不过不用担心，洛必达定律是可以嵌套的。原因很简单。只要我们把f'(x)看成新的f(x)，F'(x)看成新的F(x)，只要新的函数仍然满足洛必达定律的应用条件，那么我们就可以继续使用洛必达定律。也就是说，我们可以得到:

当然，嵌套的使用也有二阶导数存在且F''(x)不等于0的前提。同理，只要高阶导数存在，分母不为0，我们总是可以嵌套的。所以洛必达定律也可以称为玩偶定律。有了娃娃之后，问题就简单了。我们只需要记下上面的问题:

变形

除了洋娃娃，还有一个著名的罗比塔定律变体。以上几类使用都是在x趋于常数的条件下。事实上，在某些特殊情况下，当x趋于正无穷大时，我们也可以应用洛必达法则。与基本版本一样，函数f(x)和F(x)也需要满足一些条件:

当x趋于正无穷大时，f(x)和F(x)都趋于零或无穷大。

有N使得当| x | >: N时，f'(x)和F'(x)都存在，且F'(x)不等于0

lim f'(x)/F'(x)

我们来看一个例子:

我们可以看到，当x趋于无穷大时，分子和分母也趋于无穷大。所以我们可以用洛必达法则:

总结

洛必达定律在高数中非常重要，尤其是在计算极限的时候。很多看似麻烦的极限，经过洛必达定律换算后，可能会简单很多。

然而，洛必达定律的使用限制似乎很麻烦。其实我们只需要记住两点。第一点，不管x趋向于什么值，只需要保证分子分母同时趋向于零或者无穷大，导数存在，分母的导数不为零。也就是说，如果分子和分母的极限不同时等于0或无穷大，就不能用洛必达法则。这一点一定要牢记，因为在多次使用洛必达定律的过程中，很可能分子和分母都不满足这个条件，使用时一定要牢记。

今天的文章到此为止。如果你认为你有所收获，请关注或转发。你的一点点努力对我很重要。