自然数集，整数集，有理数集等都有字母表示，为什么无理数集没有

转到网上一个很有意思的问题:

这个问题乍一看似乎很扯淡，但其实是一个很深奥的问题，涉及到抽象代数的一些基本概念，所以打算写一篇文章详细阐述一下。

人类的数学是从计数开始的，最早的概念是自然数。后来随着数学应用范围的扩大，出现了新的数的类型。

初中的时候，我们详细介绍了数制。

到了高中，我们又学习了集合的概念，从集合的角度学习数。对于叙述方面，我们用一个字母来表示由不同类型的数字组成的集合。我们学到了以下内容:

自然数集:n整数集:z有理数集:q实数集:r复数集:c我相信很多朋友在这里都会遇到和这位网友一样的问题:无理数也是一个很重要的数类型，为什么他们的集合不用字母来表示？是书里忘了提，还是说数学家懒得起名字？

其实无理数集不用字母表示是有原因的。要理解这个道理，首先要理解三个基本概念:集合、二元运算、闭。

基本概念集合集合的概念我们很清楚，它是指由具有某些特定性质的元素构成的集合。当然，关于集合的确切定义还有很多需要讨论的地方，但是理解这个层面就够了。

其实我们对二元运算已经很熟悉了，只是之前没有给它一个精确的定义。用不太正式的语言描述，二元运算就是把两个数变成一个数的对应规律。比如加法是二元运算，因为它把1和1变成2，2和3变成5，等等。同样，加减乘除四则运算都是二元运算。

但是我们一般把减法看成是加法的逆，把除法看成是乘法的逆，所以基本的二元运算只有两种。

所以有人会问，既然有二元运算，那还有一元运算吗？当然有。所谓一元运算，无非是把一个数换成另一个数。我们常见的运算，比如对数运算，平方根运算，都是一元运算。但其实所谓的一元运算，就相当于我们学过的函数。

同样，还会有三进制运算，四进制运算，N进制运算等等，就不多讨论了。

闭包“闭包”其实是理解这篇文章的核心概念。

闭包基于集合和二元运算的概念。

对于某个数集和一个运算，如果从数集中随机选取两个数，二元运算的结果仍然是集合中的数，所以对于二元运算，数集是封闭的。

举个最简单的例子，自然数集对加法是封闭的，因为任意两个自然数相加的结果还是自然数。自然数集不关闭减法。例如，我可以说出两个数字，2和3。都是自然数，但是2-3=-1，所以不是自然数。

要回答本文中提出的问题，我们必须从闭包的概念开始。

我们先分析一下已知集合对四则运算的封闭性。

自然数集对于加法和乘法是封闭的，对于减法和除法是不封闭的。整数Z对于加减乘除是闭的，对于除法不是闭的。有理数集Q对于所有四种运算都是封闭的。实数集R对于四则运算是封闭的。复杂集C对于所有四个操作都是封闭的。在这里，我要特别强调有理数集。有理数集对加减乘除四则运算的封闭不是一件显而易见的事情。我们需要有严格的证据。

有理数是可以写成两个整数之比的数，那么我们假设有两个有理数b1/a1和b2/a2，其中a1、b1、a2和b2都是整数。让我们来看看他们四个操作的结果:

可以看出，四则运算的结果仍然是有理数，证明了有理数集对四则运算是封闭的。

这里我想说的是，数学家证明了有理数集是接近加减乘除四则运算的最小数集。也就是说，任何比有理数小的集合，哪怕只比有理数集合小一个数，也不再对加减乘除四则运算封闭。

在抽象代数中，我们把接近加减乘除四则运算的集合称为数域。可以看出，实数集和复数集都是数域。我们上面提到的结论是有理数集是最小数域。换句话说，任何数域都包含一组有理数作为它的子集。

分析完无理数集，我们再来看无理数集。我们会发现无理数和四则运算都不是闭的。我们可以很容易地举出例子:

对，加法:√2和-√2是无理数，但是加在一起等于0，0不是无理数。减法的例子:√2和-√2可以看成√2-√2，结果也是0。乘法:√2×√2，结果是2，2不是无理数。对于除法:√ 2悚2，结果是1，1不是无理数。

原来无理数集合就是这么烂的集合！这就是为什么我们不给它一封信。

在近代代数中，数学家主要关心的是集合以及集合中元素的运算结构，由此产生了群、环、域等一系列概念。

集合上的一个运算是闭的，所以研究它是有意义的，会有很多奇妙的性质。但如果操作不封闭，研究就会混乱，没有意义。

对于前五个集合，至少有一个运算使它们闭合，所以我们可以利用这个闭合来获得许多新的性质，解决许多数学问题，甚至构造更复杂的组合。数学家经常使用这五个集合。为了叙述方便，他们取五个字母代替。

但对于无理数集，由于它不是对四则运算封闭的，所以它不能得到前五个集合那样丰富的性质，也没有它们那样被频繁使用，所以我们不需要用单个字母来命名。

说到这里，不得不提一下近世代数的发展。

群是近代代数中最重要的概念，起源于19世纪法国数学天才伽罗瓦(1811 ~ 1832)。高尔瓦利用群论的方法，彻底解决了五次或五次以上方程的根式解问题，这是数学发展史上划时代的事件。我这位前所未有的数学天才在21岁时因为一场意外而英年早逝，这是人类数学史上的一大遗憾。

然而，我们现在在教科书上所学的代数之所以是这个样子，主要是因为20世纪德国女数学家艾米·诺特(1882 ~ 1935)，她被誉为“现代代数之母”。诺特是数学史上无可争议的最伟大的女数学家。他和他的学生组成的诺特学派完全改变了代数的全貌。