用初等行变换化下列矩阵为行阶梯形矩阵,行最简形矩阵(0 0 1 1 0 2 0 2 0 3 -1 -1）

1 -1 3 0

-2 1 -2 1

-1 -1 5 2

r2+2r1,r3+r1

1 -1 3 0

0 -1 4 1

0 -2 8 2

r3-2r2

1 -1 3 0

0 -1 4 1

0 0 0 0 这是梯矩阵,r(A)=2

r2(-1),r1+r2

1 0 -1 -1

0 1 -4 -1

0 0 0 0 这是行简化梯矩阵

在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形矩阵。

扩展资料：

下列三种变换称为矩阵的行初等变换：

1、对调两行；

2、以非零数k乘以某一行的所有元素；

3、把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。

将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。

有如下定理成立：

任一矩阵可经过有限次初等行变换化成阶梯形矩阵；

任一矩阵可经过有限次初等行变换化成行最简形矩阵；

矩阵在经过初等行变换化为最简形矩阵后，再经过初等列变换，还可以化为最简形矩阵，因此，任一矩阵可经过有限次初等变换化成标准形矩阵。

我们知道阶梯形（包括上三角形）方程组的通解很容易求，那么阶梯形方程组的增广矩阵又有什么特征呢？定义 如果矩阵中每一行第一个非零元素（称为该行的非零首元）必在上一行非零首元的右下方，则我们称这样的矩阵为阶梯形矩阵．很显然，阶梯形方程组的增广矩阵都为阶梯形矩阵，但是阶梯形的矩阵可能对应一个没有解的方程组．比如矩阵（0 1）就对应一个矛盾的方程．例115 设 a) b)c) d)其中a), b), d)是阶梯形矩阵；而c)不是，因为其第5行非零首元3不在上一行非零首元-1的右下方，而是在-1的正下方．定理 任意矩阵A均可经有限次初等行变换化为阶梯形，虽然化成的阶梯形矩阵不唯一，但所有化成的阶梯形矩阵都具有相同个数的非零行（即该行至少有一个元素不为零），我们称这个数为矩阵A的秩，记作r(A)．我们略去此定理的一般证明，用一个具体实例来说明定理的结论．例116将矩阵化为阶梯形．解（点击此处看从A初等变换到B的过程） 最后的矩阵 是阶梯形了． 如果对上述B再施行两个行变换：及，即得更简单的阶梯形矩阵，再进一步，对C施行四个初等列变换：即将第一列的-11/4倍加到第五列上，及,，又可将C化成所谓标准形矩阵，即 定义设m×n阶矩阵A=中,(其中表示m与n这两个数中的较小者)，除此以外所有元素均为0，则称A为标准形矩阵．标准形矩阵的秩显然等于其非零元的个数．从以上的例子中不难看出，每个矩阵都可经有限次初等变换化为标准形．可以证明的是标准形的得到与施行怎样的初等变换（不管是行变换还是列变换）无关，即所有矩阵的标准形都与原矩阵具有相同的秩．例117 把矩阵化为阶梯形,并求A的秩及标准形．解此即A的一个阶梯形矩阵，且因其有2个非零行(第1行与第2行)，故r(A)=2，且A的标准形是．需要注意的是，矩阵A化成的阶梯形不是唯一的，而标准形是唯一的，标准形就是一个特殊的阶梯形．

不一定有全零行，

注意行最简和行阶梯的非零行的行数是一样的，也就是说这两者中一个没有全零行，另外一个肯定也没有。所以只需分析其中一个即可，我们以行阶梯为例：

设A为m×n矩阵,A的秩为r

如果r=m

那么A所化的行阶梯型最下面就没有全零行

r是A的秩，作为A 的本身的一个固有属性，是A 的一个数字特征，不会随着初等变换而改变。

最下面出现全零行的矩阵，其秩一定<其行数

题外话：

出现零行说明该矩阵对应的线性方程组，有多余的方程（该方程可以被其余方程组合表达出来，故可消去）

若矩阵a满足（1）零行（元素全为0的行）在最下方；（2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵a为阶梯形矩阵。

2

0

2

1

0

5

2

-2

0

0

3

2

0

0

0

0

若矩阵a满足（1）它是阶梯形矩阵；（2）非零首元所在的列除了非零首元外，其余元素全为0，则称此矩阵a为行简化阶梯形矩阵。

2

0

0

1

0

5

0

-2

0

0

3

2

0

0

0

0

也就是说行阶梯型矩阵只是阶梯型矩阵的一种而已。

在线性代数中，矩阵是行阶梯形矩阵（Row-Echelon Form），如果：

所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。

非零行的首项系数(leading coefficient)，也称作主元, 即最左边的首个非零元素，严格地比上面行的首项系数更靠右。

首项系数所在列，在该首项系数下面的元素都是零 (前两条的推论)

这个3×4矩阵是行阶梯形矩阵：

化简后的行阶梯形矩阵(reduced row echelon form), 也称作行规范形矩阵(row canonical form)，如果满足额外的条件:

每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如:

注意，这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵 例如，如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵:

因为第3列并不包含任何行的首项系数

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满足下列条件的矩阵称为最简阶梯矩阵：

（1）是阶梯形矩阵；

（2）所有的非零行的第一个非零元素均为1，且其所在列中的其他元素都是零。

行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的。行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形。

因此，任何一个非零矩阵总可以经过有限次初等变换为阶梯形矩阵和最简阶梯形矩阵。

扩展资料

下列三种变换称为矩阵的行初等变换：

（1）对调两行；

（2）以非零数k乘以某一行的所有元素；

（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。

矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。行阶梯形的结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。

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