线性代数：正交化的意义何在

正交化的基对于分析空间中的向量更容易向量在正交化的基上的投影只包含在该基上的信息,不包含起头基的信息

以二维空间为例,正交的基相当于xy轴方向的正单位向量,二维向量在x轴的投影在y轴没有分量

在生活中,CDMA就是利用正交性进行编码的

矩阵正交化 就是存在与A行列数相同的可逆矩阵p 使得p‘Ap=E。

如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为单位正交阵，则满足以下条件:

1) AT是正交矩阵

2)

（E为单位矩阵）

3) A的各行是单位向量且两两正交

4) A的各列是单位向量且两两正交

5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

6) |A| = 1或-1

向量正交化，对称矩阵对角化的时候看题目要求是否需要正交阵，二次型化标准型让求正交变换的时候化正交阵~-、如果求出的特征值不相等，则只需要对其对应的特征向量单位化(原因是:实对称矩阵不同特征值的特征向量正交)二、如果特征值相等，比如说a1=a2=a3=2，则先要对特征值等于2多对应的特征向量先进行正交，然后单位化(施密特正交化)。。比如:

设b=a2+ta1为了b⊥a1,必须

(a2+ta1)·a1=0,

即:a2·a1+ta1·a1=0

t=-(a2·a1)/(a1·a1)=-(-1)/2=1/2

b=(0

2

1)T+(1/2(1

0

-1)T=(1/2,2,1/2)T

＜a1,a2＞≡＜a1,b＞[向量组＜a1,a2＞与向量组＜a1,b＞等价，后者是正交组]

这个过程就是向量组的正交化。

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