叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理．

确界定理叙述如下：非空有上界（下界）的数集必存在唯一的上确界（下确界）．设f在[a，b]连续，f（a）f（b）0，f（b）0，x∈[a，b]}，则a∈A，从而A非空有上界．由此知supA存在，记c=supA．结合f的连续性及f（a）>0

Author: zfs

概念补充：

    我们知 , =[ ]+( )( 由整数部分和其小数部分组成)

记 =[ ], =( )

有

取 =

( )

则所取 即为 上确界。

    1）：证 为 上界,即

    2）：证 为 上确界，即

证 1）:

    对于 ，则 或者

证 2）:

    当 取定时，有

取

则

即

    若实数系不连续，则在数轴上会有一段间隙，有间隙即存在长度 ,有长度即存在 ,使得 ,间隙左侧数集没有上确界，间隙右侧数集没有下确界，与确界存在定理矛盾，即实数系是连续的。

上确界是序理论中最基础的概念之一。

给定偏序集(S, ≤)，A是S的子集，则A的上确界（亦称最小上界）supA定义为满足以下条件的元素：

ⅠsupA∈S

Ⅱ∀a∈A ⇒ a ≤ supA

Ⅲ∀a∈S，若a满足∀b∈A ⇒ b ≤ a，则supA≤ a。

即：supA是A的所有上界组成的集合的最小元（若存在）。

A的上确界亦被记为sup(A)，lubA，LubA或∨A。

上确界在序理论中的对偶概念是下确界。

并非所有的A都能找到上确界。

扩展资料：

一、确界定理

在一般的数学分析学教材中，实数理论一章，为了说明实数的紧性，有一系列的定理，理论比较严密的前苏联教材一般是以戴德金分割定理为出发点证明其它的等价定理。

而我国教材为了简化，很多都是从确界定理为出发点进行的证明，其他说明实数的连续性的定理还有区间套定理，有限覆盖定理等等。

确界定理是实数理论中最基本的结论之一，是实数集紧性的体现。

定理：任何有上界(下界）的非空实数集必存在上确界（下确界）。

二、数学分析

具体到数学分析中。一个实数集合A，若有一个实数M，使得A中任何数都不超过M，那么就称M是A的一个上界。在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为A的上确界。

一个数集若有上界，则它有无数个上界；但是上确界却只有一个，这可以直观地从上确界（最小上界）的含义中看出来。并且如果一个数集若有上界，则它一定有上确界。

参考资料来源：百度百科-上确界

设S是R中的一个数集．若数η满足：（i）对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；

   （ii）对任何α<η存在x 0 ∈S，使得x 0 >α，即η又是S的最小上界

则称数η为数集S的上确界，记作η=supS．

设S是R中的一个数集．若数ξ满足：

    （i）对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界

    （ii）对任何β>ξ，存在x 0 ∈S，使得x 0 <β，

即ξ又是S的最大下界，则称数ξ为数集S的下确界，记作 ξ=infS．

设数集S，记U为S的上界全体所组成的集合，则U中一定有一个最小数，设最小数为贝塔，贝塔即为数集S的上确界，记为贝塔=sup S 设数集S，记L为S的下界全体所组成的集合，则L中一定有一个最大数，设最大数为阿尔法，贝阿尔法即为数集S的下确界，记为。

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