实数的定义和性质

实数（real number）是有理数和无理数的总称，定义为与数轴上的实数，点相对应的数，是实数理论的核心研究对象，它与虚数共同构成复数。 实数可以分为有理数和无理数或代数和超越数。实数集通常用黑正体字母R表示，R表示n维实数空间。所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

性质

封闭性

实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性

实数集是有序的，即任意两个实数、必定满足并且只满足下列三个关系之一：，，。

传递性

实数大小具有传递性，即若，且，则有。

阿基米德性质

实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即，，若，则∃正整数，。

稠密性

实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

完备性

作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：

一、所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 14, 141, 1414, 14142, 141421, ) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限。

实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

实数：你现在见过的所有的数都可以称之为实数，但凡一个数里面出现了

i

这个字母，那么这个数便不是实数。1、8、-900、4597、√3、π等等~

有理数：化简以后没有根号的数就是有理数(根号4、9、16、25等等是可以化简的)。13、68、709023都是有理数。

整数：没有小数点，或者根号或者分数线的就是整数。-1、-5、-8、6、0、1000等等都是整数。

自然数：整数的一部分，0、1、2、3、4、5、6……都是自然数。

分数：只要不是整数的有理数就都可以称之为分数(小数)，所以你所提出的所有的那些数都是分数~

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