【行列式】7、范德蒙行列式

一个条件三个结论。

条件：系数行列式不等于零。

三个结论：有解，解唯一，解的表达式（ ）

按升幂排列，幂指数成等差数列。

范德蒙行列式答案很好记，选定第二行， 依次都减去 再相乘，然后换 即 都减去 再相乘，直到 。

若 则连乘：

共n-1项

若 则连乘：

共n-2项

若 则连乘：

共1项

所以总的项数为

归纳法证明

当k=2时，

设k=n-1时公式成立，即：

下证k=n时成立

第 行乘以 加到第 行上，从最后一行开始，再提出共同项，就出现了 范德蒙行列式。再用上假设，即可得证。

对于范德蒙行列式，我们的任务就是利用它计算行列式，因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果。要学会识别范德蒙行列式，并用范德蒙行列式的结果做题。

第一种：直接给出范德蒙行列式：

为上一行列式的转置。

第二种：需转换才能得到范德蒙行列式

两种理解方式：一是第一行和第四行互换，第二行和第三行互换，负负得正。二是第四行和第三行互换，再和第二行互换，再和第一行互换，3次，第三行换2次，第二行换1次，第一行不用换，即 也是正数。第二种方式无需考虑行列式出现奇偶行。

列再互换，方便计算：

再对列进行交换，方便计算，此时正负号和行交换一样，奇加奇为偶，偶加偶为偶，因此符号必定为正：

范德蒙行列式可用于证明某组向量线性无关。

比如T是R^n上的一个线性变换，λ1,,,λk为其k个互不相等的特征值，

α1,,αk为相应的特征向量，W为T的不变子空间，β=α1++αk为W中的向量，

证明W的维数不小于k

证明：

由于β∈W，故对β作用多少次T结果也还在W中，

故β,T(β),T^2(β),,T^(k-1)(β)都在W中

只需证明β,T(β),T^2(β),,T^(k-1)(β)线性无关

由于

β=α1++αk

Tβ=λ1α1++λkαk

T^(k-1)β=λ1^(n-1)α1++λk^(k-1)αk

若存在l1,,lk使得∑[i=1,k]liT^(i-1)β=0

则V(l1,,lk)'=0①

V为k阶范德蒙矩阵，且λ1,,,λk彼此不等，故V满秩

故①只有零解，即l1,,lk全为零

故β,T(β),T^2(β),,T^(k-1)(β)线性无关

故dim(W)≥k

解: (1) 考虑增广矩阵的行列式

|A,b| = (a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)≠0

所以 r(A)=3, r(A,b)=4

所以方程组无解

(2) 增广矩阵(A,b) =

1 k k^2 k^3

1 -k k^2 -k^3

1 k k^2 k^3

1 -k k^2 -k^3

r3-r2,r2-r1,r4-r1

1 k k^2 k^3

0 -2k 0 -2k^3

0 0 0 0

0 0 0 0

因为k≠0, 所以 r(A)=r(A,b)=2

所以Ax=0的基础解系含 3-r(A)=1 个解向量

所以非零解向量β1-β2是Ax=0的一个基础解系

所以方程组的通解为:

β1+c(β1-β2)=(-1,1,1)^T+c(-2,0,2)^T

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