求复合函数定义域的方法

复合函数及其定义域求法

一、对高中复合函数的通解法——综合分析法

1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程

例1：指出下列函数的复合过程。

(1)y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x

解：(1) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。

(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。

(3)∵y=sin3x=(sinx)-3

∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。

例2：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。

经典误解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。

由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11

∵f(u1)的定义域为[1、2]

∴1≤x﹤2

∴-9≤2x-11﹤-6

即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]

∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]

经典误解2：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]

∴1≤x+3﹤2

∴-2≤x﹤-1

∴-4≤2x﹤-2

∴-9≤2x-5﹤-7

∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]

注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。

从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成(x+3)的取值范围，从而导致错误。而从定义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。

复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x的取值范围。

正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)复合而成的。

f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的

∵1≤x1﹤2

∴4≤u1﹤5

∴4≤u2﹤5

∴4≤2x2-5﹤5

∴2≤x2﹤5

∴f(2x-5)的定义域为[2、5]

结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u为第一层，x为第二层，一、二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解1与2的情况。

扩展资料

复合函数定义域求函数的定义域主要应考虑以下几点：

⑴当为整式或奇次根式时，R;

⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);

⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;

⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

复合函数的定义域由内层函数和外层函数共同确定的。

已知

y=f(x)

u=g(x)

则f(g(x))称为由f(x)和g(x)复合而成的复合函数，其中f(x)称外层函数，g(x)称内层函数。

若已知f(x)的定义域为(a,b)，求f(g(x))的定义域，

则只需要使a<g(x)<b，

其解集即为f(g(x))的定义域；

若已知f(g(x))的定义域为(p, q), 求f(x)的定义域，

则由p<x<q，可求出g(x)的范围，则g(x)的范围即为f(x)的定义域。

总结：函数f(x)，f(g(x))，f(h(x))等函数或复合函数，只要前面对应法则f相同，则定义域的求法为：对应法则f后面括号内的表达式的取值范围相同，即可求出x的范围，即为定义域。

定义

设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系，记为 y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量(即函数)

生成条件

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。

编辑本段定义域

若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的值域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是 复合函数的导数

D={x|x∈A,且g(x)∈B}

周期性

设y=f(u),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1T2，任一周期可表示为kT1T2（k属于R+）

编辑本段增减性

复合函数单调性

依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减” 判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 例如：讨论函数y=08^(x^2-4x+3)的单调性。 复合函数的导数

解：函数定义域为R。 令u=x^2-4x+3，y=08^u。 指数函数y=08^u在(-∞，+∞)上是减函数， u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数， ∴ 函数y=08^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。 利用复合函数求参数取值范围 求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须 将已知的所有条件加以转化。

复合函数的相关问题

一、定义

对于函数y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A，如果x∈A时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空，即C∩B≠φ，那么就说y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。

比如， (x∈R)的复合函数是

。

∵u=－x2≤0与u≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u≥0，也不是x∈R，而是x=0。也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。

由定义知道 就不能复合成f(g(x))。（为什么？）

二、复合函数的定义域

由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f制约g(x)的值域，从而制约x的取值范围，法则g制约x的取值范围。因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。

常见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。

例1 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）

解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，

∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，

∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。

练习：已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。

答案：－1≤x2≤1 x2≤1 －1≤x≤1

下面来思考两个问题：

思考1：已知f(x2)的定义域为[－1，1]，能求f(x)的定义域么？

个人意见：不能。因为x2的定义域虽然为R，但其不单调，由x2求得的值域不一定是f(x)的定义域。

思考2：已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，能求f(x)的定义域么？

个人意见：能。因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1 x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

练习：已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。

（提示：定义域是自变量x的取值范围）

答案：x∈[－1,2) 3x－1∈[－4,5) 2x+1∈[－4,5) x∈[－ ,2)

三、法则——解析式

复合函数y=f(g(x))的法则既不是f,也不是g，法则的运算我们没有学过（法则也可以运算？可以。）那么复合函数y=f(g(x))的法则是什么？从映射的角度很好解释。设y=f(u) u∈B的值域为D，u=g(x) x∈A的值域为C，设B∩C=E（非空），由之确定的函数y=f(g(x))的定义域为F，则有两个映射g：F→E；f：E→D,如图。

这样从集合F到集合D就建立了一个映射。这个映射就是复合函数y=f(g(x))，这里u充当中间变量。自变量x先被法则g作用，变成u，再经过法则f作用，变成y。复合函数y=f(g(x))的法则是g运算后再f运算。由此得到一个副产品：用换元法求值域不会改变函数的值域（为什么？）

例3 已知f(x)=2x－1,g(x)=x2+1,求f(g(x))、g (f (x)) 、f(f (x))、g (g (x))。

解：f(g(x))=2g(x)－1=2(x2+1)－1=2 x2+1;

g (f (x))=f2(x)+1=(2x－1)2+1=4x2－4x+2;

f(f (x))=2f(x)－1=2(2x－1)－1=4x－3;

g (g (x))= g2(x)+1=(x2+1)2+1=x4+2x2+2

注：复合后还可以再撮合，如f(g(f(g(x)))) 等等。

与反函数联系，还有一个有趣的地方：f(f－1(x))=x≠x= f－1 (f (x))

试一下就知道了。

设f(x)= ，其反函数为 ，

∴ ，

。

一个x非负另一个x非正能相等么？原来f－1 (f (x))中的x是f (x)的定义域中的数，f(f－1(x))中的x是f (x)的值域中的数，二者意义不同，当然不等。

与反函数联系还有一些陷阱——小心。

例4 （1）已知f(x)过（2，4），则f－1 (x+4)过点 。

（2）已知f(x)过（2，4），则f (x+4)的反函数过点 。

解：（1）f(x)过（2，4） f－1 (x)过（4，2） f－1 (x+4)过点（0，2）；

（2）f(x)过（2，4） f (x+4)过（－2，4） f (x+4)的反函数过点（4，－2）。

解这类题要注意两点：（1）f－1 是一个整体，是一个法则，不能割裂，认为f－1 (x+4)是f (x+4)的反函数就把f－1割裂开了。

（2）f－1 (x+4)是f－1 (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f(x)－4；

f (x+4)是f (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f－1 (x)－4。

练习：1已知 ，求f(x2),f(f(x)),f－1 (x2)

答案：f(x2)= ；f(f(x))= ；

f－1 (x)= ，于是f－1 (x2)= 。

（注意：f－1 (x)的定义域为（－∞，－2）∪{－1}∪（0，+∞），复合函数f－1 (x2)的定义域为{x|x≠0},另外，分段函数的复合函数一般是分段函数）。

2 已知f (x+4)过（4，2），求f－1 (x+4)过点（ ， ）。

答案：f (x+4)过（4，2） f(x)过点（8，2） f－1(x)过（2，8） f－1 (x+4)过（－2，8）。

四、复合函数的单调性

复合函数的单调性年年讲年年考年年都有学生出错。出错的主要原因集中在两个方面：（1）增减区间弄反（很少）；（2）单调区间不是定义域的子区间（绝大部分）。错因是教师在讲复合函数单调性的时候先总结出“同增异减”的规律，再强调定义域。一方面这个规律“同增异减”好记，另一方面在前面讲单调性时总忘指出在某一区间上单调，造成学生跟着模仿，忽视了区间，更忽视了定义域。因此我们在以后的学习过程中，一定要记住严谨。在解复合函数的单调区间时先求定义域再根据“同增异减”结合定义域求出单调区间。

下面通过例题来说明解题步骤和规律。

例5已知f(x)= ,求f(x)的单调递增区间。

分析：显然f(x)的定义域为R，f(x)是由 及 复合而成。

当x≥1时， ，而 ，

∴ ；

当x≤1时， ，而 ，

∴ 。

因此总结出规律：同增异减。

解：显然f(x)的定义域为R，设u=x2－2x，

∵2u在u∈R上单调递增，

∴欲求f(x)的单调递增区间，只须求u=x2－2x的单调递增区间。

而u=x2－2x在x≥1上单调递增，

∴f(x)的单调递增区间是[1，+∞）。

例6 求g(x)= 的单调递增区间。

解：由2x－x2>0有0<x<2，∴g(x)的定义域为（0,2）。

设u=2x－x2，

∵ 在u>0上是递减函数，∴欲求g(x)的单调递增区间只须求u=2x－x2在u>0时的减区间。

而u=2x－x2在x≥1上单调递减，但u>0时0<x<2，

∴g(x)的单调递增区间为[1，+∞）∩（0，2）=[1，2）。

另外，例5、例6中的个函数单调性一定，画出内函数的图象解题会更方便更直观。如例6，作出u=2x－x2>0的图象，（如图）由图知所求单调递增区间为[1，2）。

由图象就能避开忘求定义域，因为就不画使函数无意义的部分。

练习：1、f(x)的单调递增区间为（1，2]，则f(2－x)的单调递减区间是 ；

2、 的单调递增区间为 。

3、 在[1，+∞）上单调递减，求实数m的取值范围。

答案：1、[0，1） 2、[0，+∞） 3、（－1，+∞）

以上是常遇到的与复合函数有关的三类题型，希望能对同学们的学习有所帮助。特别是后一类的单调区间问题，我们这一届一定不能再出错。

复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量。

生成条件

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ＝φ（x)的值域Zφ和y=f(μ）的定义域Df的交集不为空集时，二者才可以构成一个复合函数。

例如：

定义域类型

若函数y=f(u)的定义域是B,函数u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}

周期性类型

设y=f(u),的最小正周期为T1,μ＝φ（x）的最小正周期为T2,则y=f(μ）的最小正周期为T1T2,任一周期可表示为kT1T2（k属于R+）

增减性类型

复合函数单调性依y=f(x),μ＝φ（x)的增减性决定．即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”。

判断复合函数的单调性的步骤如下：

(1)求复合函数定义域；

(2)将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；

(3)判断每个常见函数的单调性；

(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

(5)求出复合函数的单调性。

例如：讨论函数y=08^(x^2-4x+3)的单调性。

复合函数的导数函数定义域为R。

令u=x2-4x+3,y=08^u，指数函数y=08^u在（-∞，+∞）上是减函数，u=x2-4x+3在（-∞，2]上是减函数，在［2,+∞）上是增函数。

∴函数y=08^(x2-4x+3)在（-∞，2]上是增函数，在［2,+∞）上是减函数．利用复合函数求参数取值范围求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。

例：y=1/[(x^2+2x+6)^05]设x^2+2x+6为t，(x^2+2x+6)^05为a

可以看成f(x)=x^2+2x+6

h(t)=t^05

g(a)=1/a

所谓复合函数其实主要目的把你不懂得函数化成你熟悉的函数像2次函数，反比例函数等等。这样就可以解决题目了。

复合函数的单调性是“同增异减”

若f(x)在它的定义域上为增函数，h(t)在它的定义域上为减函数那么h(t)和f(x)组成的复合函数单调性为减函数，若g(a)的单调性为

减，那么h(t)和f(x)和g(a)组成的复合函数单调性为增函数

f（g(x)）是以g(x)为自变量，对应关系为f的函数，复合函数的定义域f[g(x)]是有两部分决定的，（1）f(x)的定义域，这就要求g(x)的值域在f(x)的定义域内，这时可以解得一个范围，在这个范围内g(x)的值域恰好是f(x)的定义域。（2）g(x)本身的定义域，由于这个定义域的存在，可以会使得g(x)的取值范围减小。所以这个命题并不是在所有的情况下都是成立的，它有特殊情况的！

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