什么是正交矩阵 举个例子,说明特征,不要定义.

如果：AA'=E（E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”）或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵

例如举一个最简单的例子

1 0 1 0

矩阵A：0 1 A的转置：0 1 此时 AA'=E

故A本身是正交矩阵

由于AA'=E 由逆矩阵定义 若AB=E 则B为A的逆矩阵 可以知道 A'为A的逆矩阵

也就是说正交矩阵本身必然是可逆矩阵

即

若A是正交矩阵则A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基即线性不相关

两个矩阵正交就是表示这两个矩阵分别是正交矩阵。

正交矩阵表示行向量或列向量线性无关且任意两行或列向量的乘积为零，自身与自身乘积为常数（任意常数），则这个矩阵正交。如果一组向量，相互乘积为零，而自身乘积为1，即为标准正交组。

区别；

1、实对称矩阵的定义是：如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。

2、正交变换e在规范正交基下的矩阵是正交矩阵，满足UU'=U'U=I

对称变换e在规范正交基下的矩阵是对称矩阵，满足A'=A

3、 转换矩阵是正交矩阵不代表被转换矩阵一定是实对称矩阵 反过来 实对称矩阵的相似对角化也不一定非要正交矩阵。

4，对称矩阵里面的数可以是实数，而实对称矩阵里面的数都是实数。

5，对称矩阵只说明A^T=A，没说明矩阵中的元素是实数，矩阵中的元素不仅可以是实数，也可以是虚数，甚至元素本身就是一个矩阵或其它更一般的数学对象，实对称矩阵就说明了矩阵中的元素要是实数

扩展资料；

（1）正交矩阵定理；

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

1方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；

2方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；

3A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

4A的列向量组也是正交单位向量组。

5正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵

（2）实对称矩阵主要性质：

1实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

参考资料来源；百度百科--正交矩阵百度百科--实对称矩阵

正交基的求法比较固定，就是施密特正交化的过程。

将基a1=(1,1,1) a2=(0,1,1) a3=(0,0,1)化成标准正交基。

ab如果垂直，则a点乘b等于0，因此可以这样正交化

a1不变，a2' = a2-a1(a1 a2)/|a1|^2，这样a2' a1 = a2 a1 - (a2a1)a1a1

a3 = a3 - a1(a1 a3)/|a1|^2 - a2'(a2' a3)/|a2|^2

代入运算即可。

性质：

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置”。）则n阶实矩阵A称为正交矩阵

性质：

1

方阵A正交的充要条件是A的行（列)

向量组是单位正交向量组；

2

方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；

3

A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

4

A的列向量组也是正交单位向量组。

A为正交阵 A的伴随矩阵也为正交阵

因为A为正交阵

所以A^T=A^-1

于是A^=det(A)A^-1=det(A)A^T

所以(A^)^-1=[1/det(A)](A^T)^-1=[1/det(A)](A^-1)^T=[(1/det(A))A^-1]^T=(A^)^T

故(A^)^-1=(A^)^T

所以A^也是正交阵

注:A^表示A的伴随

A^-1表示A的逆

A^T表示A的转置

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