怎样证明积化和差公式

积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ

所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

这样，得到了积化和差的四个公式:

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

三角函数的积化和差公式是sinα+sinβ=2sin（α+β）/2×cos（α-β）/2，sinα-sinβ=2cos（α+β）/2×sin（α-β）/2等等。

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

积化和差 sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 和差化积 sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2) 对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sinsin时要添上一个负号。对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。

和差化积公式共八个

sinx+siny=2sin(x/2+y/2)cos(x/2-y/2)

sinx-siny=2cos(x/2+y/2)sin(x/2-y/2)

cosx+cosy=2cos(x/2+y/2)cos(x/2-y/2)

cosx-cosy=-2sin(x/2+y/2)sin(x/2-y/2)

tgx±tgy=sin(x±y)/cosxcosy

ctgx±ctgy=±sin(x±y)/sinxsiny

sinx±cosx=sqrt2sin(x±45°)=±sqrt2cos(x-+45°) (x-+45°)---括号中的-+号是±的相反写法，即"-"号在上"+"号在下。

1-cos2x=2sin^2x

1+cos2x=2cos^2x

3秒钟记住积化和差公式口诀：

积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。积化和差最后的结果是和或者差；若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加。

应用：

（1）积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。

（2）在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。

（3）在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数，特别是在需要将以2π为周期和以2L为周期的函数展开为傅里叶级数的时候。

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