求和差化积、积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

sinαsinβ=[-cos（α+β）+cos（α-β）]

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2=sinβcosα=[sin（β+α）+sin（β-α）]/2

证明法1积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）]

=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]

其他的3个式子也是相同的证明方法。

（该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积）

法2根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx

令x=a+b

得e ^I（a+b）=e^iae^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

积化和差的记忆口诀为“口口之和仍口口，赛赛之和赛口留。口口之差负赛赛，赛赛之差口赛收”。

口即为余弦值cos，赛即为正弦值sin。积化和差公式是初等数学三角函数部分的一组恒等式，积化和差公式将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，达到降次的作用。

积化和差公式

1、sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]。

2、cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]。

3、cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]。

4、sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]。

和差化积和积化和差的公式：

1、sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2。

2、cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2。

3、sinαcosβ=

[sin(α+β)+sin(α-β)]/2。

4、cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2。

5、sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]。

6、sinθsinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]。

7、cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]。

8、cosθcosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]。

和差化积梗概：

和差化积是一种计算三角函数时所使用的数学公式。和差化积公式共10组，包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式。

在应用和差化积时，必须是一次同名(正切和余切除外)三角函数方可实行，若是异名，必须用诱导公式化为同名。

积化和差公式：

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

和差化积公式：

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

扩展资料

三角函数口诀

三角函数是函数，象限符号坐标注。

诱导公式就是好，负化正后大化小。

两角和的余弦值，化为单角好求值。

余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。

一加余弦想余弦，一减余弦想正弦。

幂升一次角减半，升幂降次它为范。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用。

高中教科书上没有直接写积化和差和和差化积的公式，只给了课后的练习题，要你证明这些公式

证明是简单的，只需要把等式右边用两角和差公式拆开即能证明

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

=-1/2[（cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

=-1/2[-2sinαsinβ]

其他的也是相同的证明方法：

cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]

sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)

=2[sinθ/2cosφ/2+cosθ/2sinφ/2][cosθ/2cosφ/2+

sinφ/2sinθ/2]

=2cosθ/2sinθ/2+2sinφ/2cosφ/2

=sinθ+sinφ

其他的也是相同方法证明：

sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)

cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

不难看出和差化积是积化和差公式推出来的。

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