什么是直线垂直，垂直投影定理

首先，直线垂直是针对直线本身的。无论是相交垂直，还是异面垂直，都是指两条直线本身相互垂直，这两条直线所形成的角度是90°。

而投影并不是直线本身，所以投影垂直不能说直线垂直，除非证明投影垂直的情况下，直线本身必然垂直。但是事实上可以画图证明，投影垂直的两条直线，本身并不一定垂直。

所以投影垂直不属于直线垂直是范畴。如下图中。

正方体ABCD-EFGH，AH在平面EFGH上的投影是EH，CH在平面EFGH上的投影是GH，而这两个投影EH⊥GH（底面正方形的相邻边）

但是很明显AH和CH是不垂直的，因为这是正方体，所有的面都是边长相同的正方形，△ACH中，AH，CH，AC都是正方形的对角线，所以AH=CH=AC，△ACH是等边三角形，∠AHC=60°，AH和CH不垂直

所以投影垂直和直线垂直没啥关系，不属于直线垂直的范畴。

在直角三角形ABC中,角C是直角,作CD垂直于AB,则CD的平方等于AD乘BD

AC的平方等于AB乘AD

BC的平方等于AB乘DB

对于直角三角形,如果用A,B,C表示三角形的顶点,其中A为直角顶点,由A点作斜边BC的垂线交于垂足为D,则有AD^2=BDCD(AD为BD CD的比例中项）

此即为射影定理,证明就略了不过要注意对于一般三角形是没有射影定理的!所以,这是直角三角形的一个性质之一

直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理的内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ， ③AC²=AD·AB ； ④AC·BC=AB·CD（等积式，可用面积来证明）

ACBC=2 S ABC

CDAB=2 S ABC

ACBC=ABCD

概述

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。等积式 (4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）

折叠直角三角形射影定理

所谓射影，就是灯光投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

射影定理

折叠证明

解：

在△BAD与△ACD中，

∵∠ABD+∠BAD=90°，且∠CAD+∠C=90°，                                                            

射影定理简图

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即 BD²=AD·DC

其余同理可得可证

射影定理

折叠内容

AB²=AD·AC，BC²=CD·CA

两式相加得：

AB²+BC²=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC² （即勾股定理）。　

注： AB²的意思是AB的2次方。

证明

已知:三角形中角A=90度,AD是高

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB   同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA   同理可证其余。

折叠任意三角形

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cosC+c·cosB，

b=c·cosA+a·cosC，

c=a·cosB+b·cosA。

注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

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