数学公式抛物线

A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y²=2px上，则有：

① 直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ， y1y2 = -p²；

（当A，B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p² ， y1y2 = p²/4 ， 要在直线过焦点时才能成立）

② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）2]=（x1+x2）/2+P；

③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））

④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；

⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；

⑥弦长公式：AB=√（1+k2）│x1-x2│；

⑦△=b2-4ac；

⑴△=b2-4ac>0有两个实数根；

⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；

⑶△=b2-4ac<0没实数根。

⑧由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；

⑨标准形式的抛物线在（x0，y0 ）点的切线是：yy0=p（x+x0）

（注:圆锥曲线切线方程中x²=xx0 ， y² =yy0 ， x=（x+x0）/2 ， y=（y+y0）/2 ）

扩展资料：

（1）知道抛物线过三个点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）设抛物线方程为y=ax²+bx+c，将各个点的坐标代进去得到一个三元一次方程组，解得a，b，c的值即得解析式。

（2）知道抛物线的与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0），并知道抛物线过某一个点（m，n），设抛物线的方程为y=a（x-x1）（x-x2），然后将点（m，n）代入去求得二次项系数a。

（3）知道对称轴x=k，设抛物线方程是y=a（x-k）²+b，再结合其它条件确定a，c的值。

（4）知道二次函数的最值为p，设抛物线方程是y=a（x-k）²+p，a，k要根据其它条件确定。

参考资料：

解题过程如下图：

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。 “直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。

抛物线焦点弦长公式是2p/sina^2。

设抛物线为y^2=2px(p>0)，过焦点f(p/2，0)的弦直线方程为y=k(x-p/2)，直线与抛物线交于a（x1，y1)，b(x2，y2)。

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0。所以，x1+x2=p(k^2+2)/k^2。

由抛物线定义，af=a到准线x=-p/2的距离＝x1+p/2，bf=x2+p/2。所以：

ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a。

抛物线焦点弦的性质

焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上，并且该交点与焦点的连线垂直于这条焦点弦。反过来，过准线上任意一点作圆锥曲线的两条切线，连接这两个切线的直线将通过焦点。

以焦点弦为直径的圆与相应准线的关系：椭圆——相离；双曲线——相交；抛物线——相切。

弦长公式概念：弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。

PS:圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线等。

公式一：

一、引入

直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。考查的主要内容包括：直线与圆锥曲线公共点的个数问题；弦的相关问题（弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等）；对称问题；最值问题、轨迹问题等。

二 、证明

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号

证明方法如下：

假设直线为:Y=kx+b

圆的方程为：(x-a)^+(y-u)^2=r^2

假设相交弦为AB，点A为（x1y1)点B为(X2Y2)

则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^

把y1=kx1+b

y2=kx2+b分别带入,

则有：

AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2

=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2

=√1+k^2│x1-x2│

证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]

的方法也是一样的

公式二：

抛物线y^2=2px，过焦点直线交抛物  抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=x1+x2+p

公式三：

d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2^2 - 4y1y2]

关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

d =√[(1+k^2)△/a^2] =√(1+k^2)√(△)/|a|

在知道圆和直线方程求弦长时，可利用方法二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的 b^2-4ac ，a为二次项系数。

补遗：公式2符合椭圆等圆锥曲线 不光是圆。公式/|a|是在整个平方根运算后再进行的……（先开平方了然后再除）

2式可以由1推出，很简单，由韦达定理，x1+x2=-b/a x1x2=c/a 带入再通分即可……

在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理（点到直线距离、半径、半弦）。

过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有

①

x1x2

=

p^2/4

,

y1y2

=

—P^2

②

焦点弦长：|AB|

=

x1+x2+P

=

2P/[(sinθ)^2]

③

（1/|FA|）+（1/|FB|）=

2/P

④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）

⑤焦半径：|FP|=x+p/2

（抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）

⑥弦长公式：AB=x1+x2+p

⑦△=b^2-4ac

⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根

⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根

⑶△=b^2-4ac<0没实数根

⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

弦长的计算公式有两个是：

1、弦长=2Rsina

R是半径,a是圆心角。

2、弧长L,半径R。

弦长=2Rsin(L180/πR)

直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号。

弦长抛物线公式：

y^2=2px，过焦点直线交抛物线于A(x1,y1）和B(x2,y2）两点，则AB弦长：d=p+x1+x2。

y^2=-2px，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚。

y^2=2py，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2。

y^2=-2py，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚。

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