怎样证明根号3是无理数

用反证法。假设√3是有理数，则任何一个有理数都可以表示为既约分数m/n（即：m、n为整数，且互质）

因此√3=m/n，得3=m^2/n^2，即m^2=3n^2，因此m^2含有3的因数，因此m含有3的因数

假设m=3p，则：（3p）^2=3n^2，得n^2=3p^2,因此n^2含有3的因数，因此n含有3的因数

所以，m、n均含有3的因素，与m、n互为质数矛盾，因此√3是无理数

这是一个通用的证法，可以证明√2、√5、√6等等是无理数。

方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2

所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q

因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数

方法二：设x=根号3，则有方程x^2=3

假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。

方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1

根号3=根号31=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾

1、假设根号3=p/q(p、q为互质整数）,则p^2=3q^2

所以3整除p^2,因3是质数,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q

因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数

2、设x=根号3,则有方程x^2=3

假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数）,根据牛顿有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,从而x=1或3,显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾

3、设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1

根号3=根号31=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数,矛盾

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由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

参考资料：

以下是我搜来的。。

方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2

所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q

因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数

方法：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1

根号3=根号31=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾

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