证明点集的导集是闭集

其实这个只要了解定义就可以轻松证明了。  

设E为任意点集，E1为E的闭包，E2为E的内核（即E的内点全体），用E3表示E的边界点，则E3={x|x∈E1，x不属于E2}（这一定义可在任一集合论著作中见到），因此E3=E1-E2。因为E1为闭集（E1包含E的所有聚点），E2为开集（E2中只有E的内点），所以E3=E1-E2为闭集。  

集合论是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合：

集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言，集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。

请参考：

首先，适当选择定义可以使证明简化。例如，利用A的闭包是“包含A的最小的闭集合”，由于

A ⊆ B ⊆ B的闭包

B的闭包是闭集，故A的闭包⊆B的闭包。

（即闭包演算子关于包含关系是保序的）

类似可以证明开核演算子关于包含关系是也是保序的，即

A的内部 ⊆ B的内部

或者利用 “x属于A的闭包 当且仅当 x的每个邻域都和A相交” 来验证：

设x属于A的闭包，再任取x的一个邻域U，于是

空集合≠ U∩A ⊆ U∩B

从而x也属于B的闭包。

关于导集，内部也一样验证。

但是我觉得A,B的边界（boundary）好像不一定有包含关系？！

设E是Rⁿ的子集,

其导集E'为可数集

考虑差集E\E'(即在E中而不在E'中的元素全体)

对任意x∈E\E',

存在x的开邻域B(x,δ(x)),

使其中没有其它E中的点(否则x∈E',

矛盾)

于是对任意x,

y∈E\E',

x

≠

y,

有|x-y|

>

δ(x),

|x-y|

>

δ(y),

|x-y|

>

(δ(x)+δ(y))/2

得B(x,δ(x)/2)∩B(y,δ(y)/2)

=

∅,

即x取遍E\E'时,

所得到的B(x,δ(x)/2)两两不交

可知它们包含互不相同的有理点(Rⁿ中各坐标均为有理数的点)

又Rⁿ中的有理点是可数的,

故只有至多可数个B(x,δ(x)/2),

也即E\E'至多可数

而已知E∩E'

⊆

E'为可数集,

故E

=

(E\E')∪(E∩E')也至多可数

可以这样，

作 E-E的导集，得到的是孤立点集

Rn中的孤立点是可数的

而E包含于 E-E导集 并上 E导集

后者是两个可数集的并，所以也可数

所以E可数

孤立点可数是这样的：

对每个点，都可以找一系列以开球，以那个点为圆心，两两相互不相交的圆。

由在每个圆中找一点（q1,q2,,qn）,这些点的坐标全是有理数。

由于，圆不相交，所这组（q1,q2,,qn）,必然互不相等。

这样每个开球对和Qn一个子集对应，每个开球又只有包含一个原来集合点。所以每个点和Qn的一个子集一一对应。对固定的自然数n,Qn是可数的，这是已知结论。

所以，那些点是可数的

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