hesse矩阵怎么判断半正定

实对称矩阵A正定 A合同于单位矩阵 A的特征值都大于0 X'AX的正惯性指数 = n A的顺序主子式都大于0 实对称矩阵A半正定 A合同于分块矩阵(Er,O; O,O) , r<n A的特征值都大于等于0, 且至少有一个特征值等于0 X'AX的正惯性指数 p < n

对称矩阵的正定性，半正定，负定性与该对称矩阵特征值的关系是：

矩阵的正定当且仅当其特征值都大于0；

矩阵的半正定当且仅当其特征值都大于或等于0；

矩阵的负定当且仅当其特征值都小于0。

一． 定义

因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系,所以在定义正定矩阵之前,让我们先定义正定二次型:

设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ,则称f(x) 为正定（半正定）二次型

相应的,正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：

令A为 阶对称矩阵,若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之,令A为n 阶对称矩阵,若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）,则称A负定（半负定）矩阵

例如,单位矩阵E 就是正定矩阵

二． 正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知,判别正定矩阵有如下方法：

1n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数

证明：若 ,则有

∴λ＞0

反之,必存在U使

即

有

这就证明了A正定

由上面的判别正定性的方法,不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负

2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E

证明：A正定

二次型 正定

A的正惯性指数为n

3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）

证明：n阶对称矩阵A正定,则存在可逆矩阵U使

令 则

令 则

反之,

∴A正定

同理可证A为半正定时的情况

4．n阶对称矩阵A正定,则A的主对角线元素 ,且

证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定

∴ 是正定二次型

现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入,有

∴

∴A正定

∴存在可逆矩阵C ,使

5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零

证明：必要性：

设二次型 是正定的

对每个k,k=1,2,…,n,令

,

现证 是一个k元二次型

∵对任意k个不全为零的实数 ,有

∴ 是正定的

∴ 的矩阵

是正定矩阵

即

即A的顺序主子式全大于零

充分性：

对n作数学归纳法

当n=1时,

∵ ,显然 是正定的

假设对n-1元实二次型结论成立,现在证明n元的情形

令 ,,

∴A可分块写成

∵A的顺序主子式全大于零

∴ 的顺序主子式也全大于零

由归纳假设,是正定矩阵即,存在n-1阶可逆矩阵Q使

令

∴

再令 ,

有

令 ,

就有

两边取行列式,则

由条件 得a＞0

显然

即A合同于E ,

∴A是正定的

三． 负定矩阵的一些判别方法

1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n

2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零

3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足

,

即奇数阶顺序主子式全小于零,偶数阶顺序主子式全大于零

由于A是负定的当且仅当-A是正定的,所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出,故证明略

四．半正定矩阵的一些判别方法

1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩

2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零,但至少有一个特征值等于零

3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零,但至少有一个主子式等于零

注：3中指的是主子式而不是顺序主子式,实际上,只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的,例如：

矩阵 的顺序主子式 ,,,

但A并不是半正定的

关于半负定也有类似的定理,这里不再写出

答案是B，半正定。

如果是正定矩阵，那么矩阵的特征值全部为正！

如何辨别正定和半正定和负定：

一．

定义

因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:

设有二次型

,如果对任何x

0都有f(x)>0(

0)

，则称f(x)

为正定（半正定）二次型。

相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：

令A为

阶对称矩阵，若对任意n

维向量

x

0都有

＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n

阶对称矩阵，若对任意

n

维向量

x≠0

,都有

＜0（≤

0），

则称A负定（半负定）矩阵。

例如，单位矩阵E

就是正定矩阵。

二．

正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的

n

个特征值全是正数。

2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在

n阶可逆矩阵U使

；进一步有

（B为正定（半正定）矩阵）。

4．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的

n

个顺序主子式全大于零。

三．

负定矩阵的一些判别方法

1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

3n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。

由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。

四．半正定矩阵的一些判别方法

1．

n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。

2．

n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

3．

n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。

实对称矩阵A的秩就是二次型X^TAX的任一标准形中系数非零的项数，也就是A的非零特征值的个数。半正定矩阵的特征值大于等于0，半正定矩阵的秩等于其正特征值的个数，现在A的秩为r<n,所以二次型X^TAX的任一标准形中系数有r项为正，其余为0，所以规范型是z1^2++zr^2第二个问题，A正定时，特征值全是正数，规范型是z1^2++zn^2

考虑概率分布组成的线性空间,显然协方差是其中的一个bilinear form,而且显然是非退化的,所以它是一个内积。由此可知,协方差矩阵是关于协方差这个内积的Gram矩阵,自然是对称半正定的,而且它是正定的当且仅当所有涉及的概率分布都是线性无关的。

以上就是关于hesse矩阵怎么判断半正定全部的内容，包括:hesse矩阵怎么判断半正定、对称矩阵的正定性，半正定，负定性与该对称矩阵特征值的关系、什么是矩阵的正定和负定等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！