三角形内心的定义

三角形内心的定义:内心（Incenter），三角形三条内角角平分线的交点叫三角形的内心，即内切圆的圆心。

内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。内心到三边的距离相等。到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。

若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。

直角三角形的内心到三边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

内角平分线分三边长度关系：如图1：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC。

三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;

垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;

外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;

内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;

中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。

三角形“五心歌”

三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，

五心性质很重要，认真掌握莫记混．

重 心

三条中线定相交，交点位置真奇巧，

交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好．

垂 心

三角形上作三高，三高必于垂心交．

高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角形有十二，构成六对相似形，

四点共圆图中有，细心分析可找清

内 心

三角对应三顶点，角角都有平分线，

三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆，

此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

外 心

三角形有六元素，三个内角有三边．

作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为“外心”，用它可作外接圆．

“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键

我给你补充一下，让你不再为三角形的心发愁。

（1）内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。外心也是中点三角形的垂心 。

（3）重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等 ，重心也是中点三角形的重心。

（4）垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心， 垂心也是三垂足构成的三角形的内心。

（5）旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等

（6）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

文字较长，较难理解，教你个方法，多画个三角形，把文字换成图来理解。

我想关于证明，你以后有了水平，自己证明更好。

望能给你帮助。

三角形的几个中心分别是：

三角形的内心就是内切圆圆心，是各角平分线的交点，到各边的距离相等；

三角形的外心就是外接圆圆心，是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；

三角形的重心，是三角形三条中线的交点，将三角形平分成几个面积相等的三角形；

三角形的垂心是三角形三条高的交点；

三角形的旁心是三角形外角平分线的交点，一个三角形的旁心有三个

内心是三角形内切圆的圆心，也就是三角形三个角地平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。外心是三角形外接圆的圆心，也就是三角形三条边的垂直平分线的交点。

知识拓展

设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

2、∠BIC=90°+∠BAC/2。

3、在RtΔABC中，∠A=90°，三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD。

4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c）。

5、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，外心和内心的距离为d，则d²=R^2-2Rr。

6、△ABC中：a，b，c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)。

7、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

8、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2，CR =CQ =(b+a-c)/2，r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

9、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于A'、B'、C'，则BA'/CA'=AB/AC，AB'/CB'=BA/BC，AC'/BC'=CA/CB。

（1）三角形外心；

分别作三角形两边的中垂线交点计作O，以O为圆心OA为半径画圆，如图即为三角形外心。

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。外心到三个顶点的距离相等。

（2）三角形内心；

1做出△ABC的两个内角的平分线，交于一点，该点即为三角形内心。

2做出△ABC的外接圆O，过圆心O分别作AC、BC（任意两边）的垂线，两条垂线与圆O交于E、F，连接AF、BE交于点I，则点I即为内心。

三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。

扩展资料；

（1）内心性质；

设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

2、∠BIC=90°+∠BAC/2

3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD。

（2）内切圆的半径

1，在RtΔABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

2，在RtΔABC中，∠C=90°，r=ab/(a+b+c)

3，任意△ABC中r=（2S△ABC）/C△ABC （C为周长）

（3）三角形外心求法；

设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C

正弦定理有 1) 2R=a/SinA=b/SinB=c/SinC(人教高中版)

由此可得：r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）

r=abc/（4S△ABC）

（4)三角形外心的向量关系;

向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC为三角形三个顶点，P为外心）

参考资料来源；百度百科--三角形内心

百度百科--三角形外心

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