神奇的克莱因瓶，为什么总是倒不满水

克莱因瓶被人们称为神奇的瓶子，克莱因瓶的结构也可以简单的表述为，这个瓶子底部有个洞，延长了瓶子颈部位置后，扭曲进入瓶子内部，最后将底部的洞相互连接起来。克莱因瓶是数学领域的一种概念模型，是一个永远装不满水的怪瓶，被著名数学家菲利克斯·克莱因首次发现，现实中所造出的克莱因瓶只是勉强在三维空间里体现的产物，因为真正的克莱因瓶实际只存在四维空间里，可以说没有内外之分，这也就意味着毫无边界，当然就永远也装不满水。

克莱因瓶是指一种无定向性的平面，就像二维平面一样，没有内部和外部之分，让克莱因瓶成为一个不可定向的拓扑空间。它是一个没有边界，不分内外的物体，看表面是永远没有终结的，一只小虫子都可以从瓶底沿着瓶面直接飞到外面，完全不用穿过瓶体。现实中所造出的克莱因瓶只是为了人们能在三维空间看出这个瓶子，而勉强将瓶颈穿过瓶身所造的瓶子状物体，和理论上的克莱因平面结构其实不完全一样，真正的克莱因瓶是需要在四维空间中才能表现出来那种曲面。

相信莫比乌斯环大家都听过吧，为了更好去理解这个概念，就用莫比乌斯环来打个比方，克莱因瓶就是三维空间的莫比乌斯环，莫比乌斯环就是二维空间的平面结构经过180度旋转，和另一端连接起来，只能在三维空间中体现。而克莱因瓶就像三维空间的莫比乌斯环，只能体现在四维空间。

有人曾用制造出来的克莱因瓶试验过，据说是能够装满水的，所以克莱因瓶理论就经常被人质疑不够真实，但是别忘了我们存在的是三维空间，而我们所能看到的克莱因瓶并不是真正意义上的克莱因平面，只有身处在四维空间中，克莱因瓶才能实现不通过瓶身和瓶底的洞相接，完成毫无边界的不分内外，这样的话，当然水才会是永远都装不满的。

一只装不满的瓶子叫克莱因瓶，它是一个特别的封闭瓶子，这个瓶子头部和底部是连接在一起的，这种连接的表面完全没有终结，它是三维空间在四维空间里的无限展开模式，克莱因瓶本质上是一种四维结构。假如一只飞虫从克莱因瓶的底部往里飞进去，它不需要穿过任何阻拦就能到达瓶子的内部，所以说这个封闭的克莱因瓶的里面和外面是连接的。

科学家们根据近现代科学知识体系， 总结出了 11个维度空间 ，第一维到第三维是存在于空间范围里的位置，比如长、宽、高，而此后则是科学家们的猜想， 只是人类还没有实际的证据来证明它们的存在，对这些三维以上的空间也并没有一个准确的认识。

很多人直到现在也没有明白其他的多维空间是什么，而科学家们也在不断地对多维空间的存在进行研究和“试探”， 比如德国的数学家菲利克斯·克莱因在1882年发现并命名的“ 克莱因瓶 ” ，这是一个哪怕将地球上的所有水倒入都无法装满的神奇瓶子。今天我们就来了解一下这个著名的 “克莱因瓶” 。

菲利克斯·克莱因 出生于1849年4月25日，他大学学习的是数学和物理，原本他有着一个成为物理学家的梦想，却因为教授菲利克斯·克莱因知识的教授忽然去世， 菲利克斯·克莱因为了完成教授没有做完的几何课题，走向了数学家的道路 。

1882年，菲利克斯·克莱因提出了“Kleinsche Fläche”， 这在德语里是意思是“克莱因平面” ， 然而因为翻译有误 ，后面的“平面”成为了“Flasche”， 也就是“瓶子”的意思，即 “克莱因瓶” 。

虽然看起来是翻译错误了，但其实“瓶子”与菲利克斯·克莱因所描述的 平面形象还是非常贴切的 。这个“ 克莱因瓶 ”的结构大概是这样的： 一个底部存在一个洞的瓶子，再将瓶子的瓶颈拉长，延伸进入瓶内与瓶底的洞相连。 这样听起来是不是很简单？ 实际上这是一个没有“边”，如同球面一样表面无边无际，永不终结的单个曲面 。

同时克莱因瓶也不存在内外的区别，内外是相通的，一只蚊子能够从“克莱因瓶”的内部直接飞出去，而不需要跨越瓶壁，或者说， 克莱因瓶根本就没有瓶内和瓶壁之说，是一个有外而无内的神奇东西。

从数学学科的角度来看，克莱因瓶并不是一个真实的瓶子， 而只是一种平面 ， 它只是在我们的眼里看起来像是一个 瓶子的外形 ，而且还是瓶颈穿进瓶身，再与瓶底的洞连接的物体。

然而实际上，克莱因瓶并未发生相交的行为， 只是克莱因瓶的瓶颈与瓶身上的某些点处在了三维空间的相同位置，这才导致了在三维空间的我们看来，它们是相交的状态 。

应该说克莱因瓶是一个只能存在于 四维空间 里的曲面， 它的瓶颈是在四维空间里与瓶底相连，根本不需要从瓶身上面穿过去。

也因此，之所以地球上的水都无法将克莱因瓶装满， 不是因为什么神乎其神的“黑洞效应” 等等，而是因为克莱因瓶本身只是一个平面，它没有圈住空间，也没有内外之分， 倒入 克莱因瓶 的水也会立刻流出去，自然也就无法“装满”了。

而有一些人拿着市面上所谓的“克莱因瓶”装上水 ，然后以此来反驳“克莱因瓶无法装满水”的观点，这是极其错误且无知的行为。

因为我们之前也有说过， 这是一个只能存在于四维空间的平面，在我们所在的三维空间里，无论是科学家也好，还是什么大师级别的能工巧匠都无法将真正的克莱因瓶制作出来。

毕竟在三维空间里，想要实现菲利克斯·克莱因所说的克莱因瓶的构成， 必须要将瓶身与瓶颈相交。 那些所谓的“克莱因瓶”也只是人们凭着克莱因瓶在三维空间里所展现的冰山一角所制作的， 它无法代表真正的 克莱因瓶 。

如果还是无法理解克莱因瓶是什么， 那我们可以将克莱因瓶沿着对称线分割，就能得到2个对称的“莫比乌斯带” 。

这是莫比乌斯和另外一位科学家在 1858年发现的现象 ，制作方式很简单，并且不像是克莱因瓶无法在三维世界里制造出来， 莫比乌斯环 只需要准备一个纸带，并将其中一端固定住，另外一端扭转180度，或者是任意的180的奇数倍度数，再将两端连接。

这个莫比乌斯带只有一个曲面，而不像是普通的一个纸带一样具有正反两面， 将一只蚂蚁放在莫比乌斯带中，它甚至可以不用跨越莫比乌斯带的边界 ，或者说是不用自行翻个面，就能走遍整个曲面。

莫比乌斯带 是两个面的连接，本质上只有一个面，也就无法定义到底什么地方是里面，什么地方是外面， 是“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”。

克莱因瓶与莫比乌斯带有着异曲同工之处， 它是一个平面进行翻转、扭曲后，将多个面进行合一的结果，因此才会说它只有一个面。

如果我们在四维空间里，我们就能够将两条莫比乌斯环组成一个克莱因瓶， 其实除了这个瓶子的形状，克莱因瓶还有另外一个很少有人知道的三维世界的形状—— “8字形” ， 虽然两个形状在我们的眼里有着巨大的差别，但在四维空间里，它们其实就是一个平面罢了。

当然，可能还会有人很疑惑， 为什么克莱因瓶在四维空间是一个不相交的曲面，却在三维空间就相交了呢？ 我们从四维空间的角度可能很难更加详细精准地解释，那就换一个维度空间来分析一下。我们都知道 ， 一维空间 是一个点 ，它只有一个单位，比如往前或者往后，任何一个平面或者是空间在一维空间里都只能表现为一个点的形状。

二维空间则是平面 ，即只有前后、左右，而无法进行上下的活动， 三维空间也就是我们所在的世界 ，具有长、宽、高三种位置方向，不仅能够进行前后、左右的活动，还能上下移动。

在三维空间里，我们把一个圈扭转却不相交， 在我们的眼里它只是形状有所变化，根本没有发生碰触， 但是在 二维空间里 ，这却是一个具有交点的圈。

再比如我们将两根筷子一个朝下，一个朝前放置，它们本身是平行且不相交的， 但是 二维世界 的人也只会看到交叉的两根筷子。

这就是从 低纬度观察高纬度的缺点，低纬度的人总会缺少一些它们所无法理解的东西，因此只能发现它们能够发现的事情。 就算是我们告诉一个生活在二维空间的人： 一个苹果是由多个平面组成的，一个长方体有六个面等等，它们也都无法理解这是什么意思。

换句话说，我们的维度相对克莱因瓶比较低，在我们的认知里世界只有长、宽、高，所以无法理解克莱因瓶到底是怎么组成的。 而克莱因瓶的这个形象也不过是它在三维空间的一个“投影”，是我们只能够看见和理解的部分 。

那么四维空间到底是什么呢？其实科学家们还没有一个对四维空间准确的结论， 目前而言也只是一个基于现有 科技 手段和理论知识上进行的对规律的猜想。

这里说的 四维空间 与爱因斯坦的“四维时空”并不一样， 后者指的是宇宙是在三维空间的“空间”基础上，再与另外一个维度——“时间”共同组成的 ，其中的“第四维”与三个维度有着很大的差异： 一个是时间，三个是空间。

而我们所说的四维空间， “第四维”与三种维度都属于是空间 ，从数学的角度来说，第四维就是 在x轴、y轴、z轴的基础上，再延伸出来的一条同时垂直于这三条坐标轴的轴线，一般来说是将这条轴线称为是“w轴”。

这也就意味着，四维空间除了前后、左右、上下的三种活动方向以外， 还存在着另外一种新的 移动方向 ，这是三维空间的我们所无法做到的。

二维空间（平面）是由多个一维空间（点）组成的，三维空间是由多个二维空间组成的，按照这样的规律来看， 那么四维空间也应该是由多个三维空间构成的，是多个平行的三维空间的堆积。

一本叫做 《扁平世界》 的书里描绘了一群生活在二维空间的人，对于他们来说，三维空间的人类就像是神仙一样—— 三维空间的人能够看见在 二维空间 里的人认为被遮挡在墙后的物体 ，也能够在不破坏掉二维空间的保险箱的前提下轻松地将里面的物体取出来。

甚至只要三维空间的人朝着平面以外的位置移动一点距离， 对于二维空间的人来说就如同隐身了一般，永远也无法再找到他的踪迹。

同理， 对于我们而言，超出了 三维空间 的生物也必然是具有“神力”的神仙，哪怕是我们的保险柜，它们也能够从另外的一个维度将内部的物体取走，也同样能在我们面前“隐身”。

事实上，我们也不必为此感到惊慌和担忧， 多维空间还只是科学家们的推测而已，事实到底是什么样子的，面前还没有人能够知道。

在诸多的世界科学之迷中，最著名的，莫过于克莱因瓶。这是因为，按照数学家克莱因构想，我们的宇宙中应该存在一个四维空间，这个四维空间按照克莱因的构想，它应该是一个四维的实物，就如我们经常看到的那个用数学家克莱因的名字命名的那个特殊的瓶子。这个瓶子的特殊之处在于，无论你从哪里往里边灌水，水都会从这个瓶子里流出来，因此，没有人能够将它灌满。

然而遗憾的是，克莱因瓶至今也没有人制作出实物，做多也就是计算机绘制的模型。之所以如此是因为它很可能是存在于四维空间，而我们的各种现有的制造工艺仅仅是三维的。后来，随着玻璃制造设备和技术的进步，人类也试着来制作克莱因瓶，然而人类无论如何也做不出来。科学家说是因为第四维那个部分现有的技术还是穿越不过去，因此无法使它成型。

曾有科学家认真研究过克莱茵瓶的结构，它的底部有个黑洞，然后瓶口向后延长，通过四维度的扭曲之后，再一次通向瓶底的那个黑洞，所以，无论任何东西丢进克莱茵瓶里也无法使其保存其中。科学家通过电脑模拟，将一只蚂蚁“丢进”克莱茵瓶里，结果蚂蚁最终走出了克莱茵瓶，甚至它根本不需要穿过杯子的表面那一层，科学家观察后发克莱茵瓶是一个不可定向的拓扑空间。

克莱因瓶作为平面几何组合起来的奇特空间，在很早之前就被提了出来，然而直到现在，我们都没办法制造出符合设想的实物。经历过无数次的失败后，科学家只好借助于电脑的模拟技术，制造出了四维立体模型，这或许对克莱因来说算是一点慰际。

假如未来人类的理解能力真的允许人们制造出克莱因瓶实物，那么人类进出第四维度将是易如反掌。但不知道人类何时才能理解第四维？

科学是神奇的，在这神奇的世界中，有一种瓶子，名叫克莱因瓶，这种瓶子并不存在实物，而是科学家们根据四维空间构想出来的。发明这个瓶子的数学家就叫做克莱因，这个瓶子的特殊在不论你怎么灌水，这里的水都会流出来，瓶子永远没办法装满，科学家们至今没有造出这种瓶子。

目前我们能见到的克莱因瓶，就是通过计算机绘制的，它的存在应该是在四维空间，而我们现在的工艺只能达到三维空间，所以目前为止是没办法的，现在没办法实现四维空间，科学家们说是因为第四个维度，现在的技术无法达到。但是随着科技的进步，或许将来能够实现四维空间。

有的科学家说，克莱因瓶就好像是一个黑洞，它的底部一直延伸，这才导致了他无法装满水。但是也有的科学家通过计算机，进行了一个模拟实验，他们将一只动画蚂蚁放入克莱因瓶，没想到它竟然走出来了，因此科学家们又提出，克莱因瓶是一个没有方向的扩展空间。

目前对克莱因瓶的探索也只能停留在电脑技术方面，科学家们其实也想过通过现有的技术来制造这样的瓶子，可是尝试了无数次的试验，最终都失败了，不过还好有计算机的存在，通过电脑实现了模拟，这也算是一种进步了。

科学就是神奇的，正是因为科学家们不断的研究和探索，才让我们现在的社会如此丰富多彩，想必克莱因瓶能够制造出来实物的适合，社会将会发生更大的变化。

至于未来，我们能不能造出这样的瓶子，那就得看未来的发展了，你们觉得造出瓶子的可能性大吗？

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克莱因瓶名字的来历，实际上就是由明确提出这一情况的知名法国学者克莱因明确提出的。最开始，在使用德语开展取名的情况下，是称做为克莱因平面的，可是之后因为德语翻译和以后的广为流传问题，最后被理解为克莱因瓶。克莱因瓶在数学课分析的行业上看来，实际上是指一种并没有定项边界的平面，像大家所甚为了解的二维空间，也是并没有外部环境的边界差别所区别的。依据有关的概念而言，克莱因瓶是并没有界限的平面，那麼针对大海这类存有固定不动品质的物件，当然就难以把克莱因瓶放满。

最先，大家从克莱因瓶的构成构造考虑，我们可以想像克莱因瓶为一个瓶子的样子，可是这一瓶子与一般的瓶子不一样，克莱因瓶的瓶子底端，存有一个洞，我们可以联接瓶子底端的洞，从瓶子的里面立即就可以越过抵达瓶子的外界。因而，在这个构造下，克莱因瓶可以说成可以理解为始终并没有瓶子中间的外部环境之分的，在这类室内空间精准定位的平面前提条件下，不要说是全部大海了，就算是地球上，从事实论据上来说全是装不满意克莱因瓶的。

克莱因瓶的构造看起来很独特，但表述下去并不会太难，假如把它先看作一个平常的瓶子，先增加它的短板，将其从内部结构歪曲进来，再把瓶底开一个洞，让拓宽进瓶里的部位和这一洞相互连接，就能获得所说的克莱因瓶。那么看克莱因瓶很显然是有轮廊的，但实际上它压根并没有“边”，它的外表不容易被结束，因为它在数字行业中拇指的是一种无定项性的平面，既并不是圆球也不是圆柱体，总而言之便是一个并没有外部环境区别的数据模型。

克莱因瓶被广为人知的一位数学家菲利克斯·克莱因所发觉，它将其用名字取名，说起来克莱因瓶这一名字的来历也有一段有趣的事，最开始克莱因瓶在俄语中的意思应该是克莱因平面，在译成英文的情况下“平面”被译音变成“瓶子”，以后才拥有克莱因瓶这一叫法，尽管那时候这一因为翻译引起的乌龙茶也被我们所发觉，但是许多学者感觉克莱因平面放到第三层面就犹如一个瓶子，就叫它克莱因瓶也俱有一番趣味性，因此本来的平面就被将错就错变成了瓶子，一直持续到了如今。

克莱因瓶的原理解释如下：

克莱因瓶指一种无定向性的平面，它没有边，它的表面不会终结。它和球面也不一样，它没有内外之分，它的瓶颈是通过第四维度和瓶底相接，并不需要穿过自身，自然也不会相交。也正因如此，克莱因瓶是永远装不满水的。

这种瓶子是被一个叫做克莱茵的科学家所发明出来的理论，因为结构十分复杂。材料也要选取的十分特殊。所以到目前为止，我们都没有制作出实体的成品出来，它是一个很奇怪的瓶子。是从底部伸出一个口径，然后向上延伸，整个瓶子都是一体的，无论把什么东西放进去，都是无法在内部进行保存的。即使是一个小的昆虫进入，最后也还是会走出来，甚至都不用进到内部去。在数学上，我们一般把这种现象叫做不可定向的拓扑空间。

克莱因瓶在现实生活中是无法实现的，它在本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。用数学的语言来讲，这样得到的克莱因瓶在三维中的实现是克莱因瓶在三维空间中浸入。如果我们把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，就会得到两个莫比乌斯带。

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