高中数学根式计算化简问题

这个根式化简是这样的，先通分。所以等号前面的分子就是4的2/3次方。4的2/3次方等于16的1/3次方。在根号中可以写成8×2。这样的话分子就等于2×2的1/3次方。分母的话，只要按照加法进行计算就可以。

这个题用换元法

∵f(x)=√x+1/√x-√(x+1/x+1)

根号下无负数并且分母不为零

∴x＞0并且x+1/x+1＞0

∴定义域x＞0

令 t = √x+1/√x = {√√x-1/√√x}²+2 ≥2

则√x+1/√x = t

x+1/x = (√x+1/√x)² - 2 = t²-2

√(x+1/x+1)=√(t²-2+1)=√(t²-1)

∴f(t)=t-√(t²-1)

∵t²＞t²-1

∴t=√t²＞√(t²-1)

∴f(t)=t-√(t²-1)＞0

将t-√(t²-1)看作分母为1的分式，分子分母同乘以t+√(t²-1)得：

f(t) = t-√(t²-1) = { [t-√(t²-1)] [t+√(t²-1)]} / {t+√(t²-1)} = 1 / {t+√(t²-1)}

∵t ↑；t²-1 ↑ ； √(t²-1) ↑ ；t+√(t²+1) ↑ ；1 / {t+√(t²-1)} ↓；

∴f(t)最大值f(2) = 2-√(2²-1) = 2-√3

即f(t)值域：（0，2-√3]

即，f(x)=√x+1/√x-√(x+1/x+1)最大值为 2-√3

1、(1)定义：两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那么这两个代数式相互叫做有理化因式

(2)确定方法：

单项二次根式：利用√a

x

√a=a

来确定

如：√a和√a，√a+b和√a-b

等互为有理化因式

2、分母有理化的方法与步骤

（1）先将分子、分母化成最简二次根式

（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式

（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式

在进行二次根式的运算时

,往往需要把分母有理化

,而分母有理化的方法则是把分子、分母同乘以分母的有理化因式

,因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式。我们清楚

,两个含有二次根式的代数式相乘

,如果它们的积不含有二次根式

,就说这两个代数式互为有理化因式。由此可知

:1

a与

a互为有理化因式

“根号(a-b)”的有理化因式是：根号下(（根号a）^2-（根号下b）^2)=根号下（（根号a+根号b）（根号a-根号b））。

也就是使一个坟墓含有二次根式的式子中分母不带根号 例如 1

—————— =（根号3）-1

（根号下3）+1

1

（根号3）-1= ———————

（根号下3）+1

在一定条件下化简有好处

就是分式中分母含有根号分式上下同乘以那个根号使分母不含根号例根号2分之l上下同乘根号2得2分之根号2

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