椭圆的数学表达式以及相关性质

椭圆的第一定义：平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆，即：│PF│+│PF'│=2a。其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│=2c<2a叫做椭圆的焦距。

椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线FF'间距离之比为常数e(即椭圆的离心率)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）。其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c<焦点在X轴上>或者y=±a^2/c<焦点在Y轴上>)。

椭圆的其他定义：根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况

切线与法线的几何性质

定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，则∠APF1=∠BPF2。

定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)

2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (b>a>0)

其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称  F点在Y轴轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2(a^2-b^2)^05，焦距与长短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在(x0，y0)点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1

一般方程：Ax^2;+Bxy+Cy^2;+Dx+Ey+F=0 (AC不为0)

公式

椭圆的面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长)

或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长)

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

L = ∫[0,π/2]4a sqrt(1-(ecost)²)dt≈2π√((a²+b²)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则

e=PF/PL

椭圆的准线方程

x=±a^2/c

椭圆的离心率公式

e=c/a(0<e<1,因为2a>2c)

椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/c) 的距离为b^2/c

椭圆焦半径公式

焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点)

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

焦点在y轴上：|PF1|=a-ey |PF2|=a+ey(F1,F2分别为上下焦点)

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a

点与椭圆位置关系

点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2<1

点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2>1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m ①

x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1

相切△=0

相离△<0无交点

相交△>0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)

|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

椭圆的斜率公式

过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点（x，y）的切线斜率为 -(b^2)X/(a^2)y

椭圆焦点三角形面积公式

若∠F1PF2=θ, 则S=b^2tanθ/2

一：复习提问：

1回答椭圆的两个定义。焦点在x轴和y轴上的椭圆的标准方程各是什么形式？

2代数中研究函数图像时都需要研究函数的哪些性质？

由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质。

现在我们有三个工具：椭圆的两个定义，图形和标准方程，下面我们就分别从研究定义，图形，方程出发看看能获得哪些性质。

（一） 从定义方面研究：

1焦点

2．椭圆的第二定义，准线方程及离心率

点M(x,y)与定点F(-c,0)的距离和它到定直线L:x=-a2/c的距离的比是常数c/a，(a>c>0),求点M的轨迹。

求轨迹方程的方法，步骤是什么？

到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e (0<e<1)的点的轨迹叫椭圆。

我们把定值e=c/a(0<e<1) 叫做椭圆的离心率。

随着离心率的变化，椭圆的形状发生了怎样的变化？

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆。可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量。

我们把定直线L:x= 叫做椭圆的准线。一个椭圆有几条准线？

（二） 从标准方程研究

3．椭圆的顶点：

曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点。同时我们把AA1,BB1分别叫做椭圆的长轴和短轴。另外我们将a,b叫半长轴长和半短轴长。

（三）从椭圆的图形和方程方面研究。

4．椭圆的范围：椭圆位于一个矩形内。

5．椭圆的对称性：

椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称。

椭圆的定义和标准方程的形式决定了椭圆的对称性质。

例一：求椭圆16x2+25y2=400的长轴，短轴的长，焦点，顶点的坐标，准线方程和离心率

例二：我国发射的第一k颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点B距地面2384千米，地球半径6371千米，求卫星的轨道方程。

例三:椭圆的方程 ，椭圆上一点P到左焦点的距离为15，求椭圆的一点P到两条准线的距离。

例四;已知椭圆的长轴长为5，一条准线方程为x=-10，求椭圆的标准方程。

小结;1知识方面：1)椭圆内切于矩形，且它是以x轴,y轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的对称图形。因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出。

2)．在讨论椭圆性质时，应首先根据方程判断此长轴的位置，然后再讨论其它性质；（判断方法是“大小分长短，即哪个字母下面的数大，焦点就在哪个轴上）

3)．常数e（离心率）是焦距与长轴长的比值，与坐标轴的选择无关。

4)关于准线，根据椭圆的对称性，对于焦点在x轴上的椭圆 的准线方程为x ，对于焦点在y轴上的椭圆

的准线方程为y

2方法方面：1）给出方程会求椭圆的几何性质。

2）会用待定系数法根据条件求椭圆的方程。

练习：1。设椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点所连焦半径互相垂直，且此焦点距长轴较近的端点的距离为 ，求椭圆的方程。

2．直线y= 为椭圆的准线，其短轴长为2 ，求椭圆的标准方程。

3根据下列条件求出椭圆的标准方程。

1） 中心在原点，焦点在x轴上，焦距为6，离心率为3/5。

2） 中心在原点，对称轴在坐标轴，长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）。

3） 求下列椭圆的焦点，顶点坐标，离心率，准线方程，长，短轴长。1）9x2+4y2=1 2)

参考资料：

地图定义？

地图是按照一定的法则,有选择地以二维或多维形式与手段在平面或球面上表示地球(或其它星球)若干现象的图形或图像，它具有严格的数学基础、符号系统、文字注记，并能用地图概括原则，科学地反映出自然和社会经济现象的分布特征及其相互关系。

什么是地图的比例尺？

地图上某线段的长度与实地相应线段的水平长度之比，称为地图的比例尺。其表现

很高兴为楼主解答 如有错误请谅解

椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

椭圆的第二定义：平面内到定点F及定直线l的距离之比等于定值e（0<e<1）的点的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆相应的准线，定比e叫做椭圆的离心率．

双曲线的定义；平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距双曲线的第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数e（e>1）的点的轨迹抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线双曲线．定点F为焦点，定直线l为准线，常数e为离心率．

准线方程

[编辑本段]准线的定义

对于椭圆方程（以焦点在X轴为例） x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0 a为半长轴 b为半短轴 c为焦距的一半)

准线方程 x=a^2/c x=-a^2/c

对于双曲线方程（以焦点在X轴为例） x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a,b>0)

准线方程 x=a^2/c x=-a^2/c

抛物线（以开口向右为例） y^2=2px（p>0）

准线方程 x=-p/2

[编辑本段]准线的性质

圆锥曲线上任意一点到一焦点的距离与其对应的准线的距离比为离心率（同在Y轴一侧的焦点与准线对应）

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准线

[编辑本段]定义

过极点A作极径R垂线与过动点C切线的交点的轨迹是垂直于极轴的直线叫准线,

[编辑本段]几何性质

准线到顶点的距离为Rn/e,准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e

当偏心率e大于零时,则P为有限量,准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e

当偏心率e等于零时,则P为无限大,P是非普适量用无限远来定义圆锥曲线是非法的

目前教科书中定义局限性的原因是不了解准线的几何性质,当e等于零时则准线为无限远,准线是非普适量,是局限性的量教科书中用准线来定义圆锥曲线是不包含圆的原因

1．椭圆的简单几何性质

以方程 为例：

（1）范围：由方程可得|x|≤a，|y|≤b，因此椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

（2）对称性：椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两根对称轴，一个对称中心，一般地对于曲线f（x，y）=0，若以－y代y方程不变，则曲线关于x轴对称，若以－x代x方程不变，则曲线关于y轴对称；若同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称，应结合点P（x，y）分别关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标来理解和记忆。

（3）顶点：共有四个，即 ，它们就是椭圆与坐标轴的交点，画椭圆时，可先画出这四个顶点，也就画出了椭圆的大致形状。

（4）离心率： ，在椭圆中，∵a>c>0，∴0<e<1。

若设a不变，∵ ，易见，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆，因此，离心率反映了椭圆的扁平程度。

2．椭圆的第二定义

椭圆也可以看成是动点到定点F和到定直线1距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹，这就是椭圆的第二定义，在这个定义中，定点F是椭圆的一个焦点，定直线1叫做与该焦点对应的一条准线，而常数e就是椭圆的离心率。

由对称性可知，椭圆有两条准线，对于椭圆 ，与F（c，0）对应的准线方程是 ，与F′（－c，0）对应的准线方程是 ，如果椭圆方程是 ，则两条准线方程是 ，由第二定义可知，若M是椭圆上任一点，直线1是与焦点F对应的准线，M到1的距离为d，则|MF|=ed，利用这一关系可得椭圆上一点到焦点的距离转化为它到相应准线的距离，使运算简化。

3．椭圆的参数方程

从椭圆方程 联想三角公式 ，

若令 即 ，这就是椭圆的参数方程。

它间接地反映了椭圆上一点P（x，y）两个坐标之间的关系。

利用椭圆的参数方程研究有关最值问题时，不必通过普通方程来消元，而直接建立关于角参量的一元目标函数

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