如何寻找间断点

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义如果函数f(x)有下列情形之一：（1）在x=x0没有定义； （2）虽在x=x0有定义,但x→x0 limf(x)不存在； （3）虽在x=x0有定义,且x→x0 limf(x)存在,但x→x0 limf(x)≠f(x0),则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点

几种常见类型可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等,但不等于该点函数值或函数在该点无定义如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处（图一） 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在,但不相等如函数y=|x|/x在点x=0处（图二） 无穷间断点：函数在该点可以有定义,且左极限、右极限至少有一个为∞如函数y=tanx在点x=π/2处（图三） 振荡间断点：函数在该点可以有无定义,当自变量趋于该点时,函数值在两个常数间变动无限多次如函数y=sin(1/x)在x=0处（图四） 可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点,也叫有限型间断点其它间断点称为第二类间断点由上述对各种间断点的描述可知,函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在,而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在,这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别

1个，就是x=5，使函数无意义的点是间断点，这里分母不为0，即x-5不等于0，所以x不等于5。除了这个，因为分子分母都是基本初等函数，都连续，所以就没有其它断点了。

当x=1时函数的左极限（从负无穷趋向于1）等于﹢π，右极限（从正无穷趋向于1）等于﹣π；左极限不等于右极限，为第一类间断点中的跳跃间断点。

当x=﹣1时函数的左极限等于0右极限等于0但函数在该点处无意义，所以为第一类间断点中的可去间断点。

相关定义：

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

绝对值函数的可疑间断点一般优先考虑绝对值为0的点。

任意函数的可疑间断点一般都先考虑定义域的边界点（端点）和极限可能为无穷大的点（奇点）。分段函数和有理函数相对困难一点，分段函数优先考虑端点，有理函数优先考虑奇点（使得分母为0）。

函数间断点找法

函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

可去间断点即左极限=右极限=有限值，与此点取值、有无定义均无关，可以通过重新定义让其连续的点。

分母为0的“有限点”（不算x→∞）都有可能是可去间断点，所以拿出来依次讨论。x=0、x=-1和x=1

(1)当x→0时，因为涉及到|x|，所以有必要分两边进行讨论

当x→0+时，limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(xlnx)

因为0^0=1，所以分子在x→0+时是趋近于0的；对于分母，xlnx=lnx/(1/x)，应用L'Hospital法则便知在x→0+时也是趋近于0的。

故，分子分母满足0/0型的L'hospital法则，lim(x^x-1)/(xlnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(lnx+1)=lim(x^x)=1

当x→0-时，limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]

同理，分子分母满足0/0型的L'hospital法则，lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]=lim[(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+1]=lim[(-x)^x]=1

综上，当x→0时，左极限=右极限=1，故，x=0是可去间断点。

(2)当x→-1时，limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]

情况类似于x→0，分子1-(-x)^x→0；分母(x+1)ln(-x)满足∞/∞的L'Hospital法则，其极限为0。

所以，总体上满足0/0型的L'Hospital法则，

limf(x)=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]=lim[-(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+(x+1)/x]→∞

其中，x→-1+时为+∞，x→-1-时为-∞，这是无穷间断点，不满足要求。舍去。

(3)当x→1时，limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(2lnx)

分子分母满足0/0型的L'Hospital法则，有

lim(x^x-1)/(2lnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(2/x)=1/2，故x=1也是可去间断点。

综合上述，x=0和x=1是可去间断点。选C

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。 可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。 求法都是分别求左右极限，然后根据该点的定义和以上两条判断是不是可去的或者跳跃的，如果都不是就是第二类间断点

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）在x=x0没有定义；

（2）虽在x=x0有定义，但x→x0 limf(x)不存在；

（3）虽在x=x0有定义，且x→x0 limf(x)存在，但x→x0 limf(x)≠f(x0),

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

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