逻辑代数基本定理

三大基本定理

1代入定理：

简单来说，就是你为了验证一个逻辑代数式子，把其中的变量换成另外一个逻辑式子，

查看原式是否成立

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（简直在侮辱智商有没有～）

eg 证明二变量的摩根定理：(A+B)'= A'B' and (AB)'=A'+ B'可以推广到多变量

解： 第一个式子用B+C代替B==》（A+B+C) = 'A'(B+C)' =A' +B' +C'

第二个式子，用BC代替B，同上易证

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2反演定理

对于一个逻辑式，将其中 1。+ =》

2。 =》+

3。1 =》0

4。0 =》1

变量 =》 变量’（取反）

它仍然成立

注意：1先括号，再乘号，再加号

2不是单个变量的取反不变！！！比如（AB)'

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感觉理解起来不是很难，举个例子更清楚

Y = A(B+C)+CD ====⇒ Y' = (A'+ (B'C')) (C'+D')

Y = ((AB'+C)'+D)'+C' ===⇒ Y' = (((A'+B)C')'D')'C

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体会：1对一个式子取反不需要变化，但是括号里面每个变量都需要改变

2不改变的优先级针对的是改变之前的优先级，变换的时候注意针对原式子里面的乘号加括号就行

3对偶原理

和反演定理一样，唯一的差别在于，对偶原理不要对变量取反，这样得到的就是对偶式

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对偶定理可以通过对等号两边取对偶式来判断一个式子是否成立

eg

Y = A+BC ==> YD = A(B+C) =AB+AC

Y = (A+B)(A+C) ==>ABAC

推出上面两个式子相等

逻辑代数的基本定理

逻辑代数的基本定理是应用划归逻辑表达式的关键。

吸收律

A + AB = A

A + !AB = A + B

AB + A!B = A

(A + B)(A + !B) = A

反演律

!(A + B) = !A !B

!(AB) = !A + !B

包含律(多余项定理)

AB + !AC + BC = AB + !AC

(A + B)(!A + C)(B + C) = (A + B)(!A + C)

AB'+BD+A'D+CD

= AB'+D(A'+B)+CD

= AB' + (AB')'D + CD

= AB'+D+CD

= AB'+D(1+C)

= AB'+D

本题用到以下逻辑代数公式：

X+X'Y = X+Y

XY' = (X'+Y)'  或  XY = (X+Y)'  或  (XY)' = X'+Y'

代数基本定理：任何复系数一元n次多项式方程f（x）=0在复数域上至少有一根（n≥1）

由代数基本定理可以推出：

n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）．

韦达定理是指一元二次方程中根和系数之间的关系。

韦达定理解析

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达定理关系

设一元二次方程ax+bx+c=0（a，b，c∈R,a≠0）中，两根x1、x2有如下关系：

x+x=-a/b xx=a/c

韦达定理推广

逆定理如果两数α和β满足如下关系：α+β=-a/b，α·β=a/c，那么这两个数α和β是方程ax+bx+c=0（a，b，c∈R,a≠0）的根。

通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

韦达定理发展简史

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。

韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理意义

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。=b-4ac

一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

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