四阶行列式怎么推导

四阶行列式万能公式如下：

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44= a11a22a33a44 - a11a22a34a43 - a11a23a32a44 + a11a23a34a42+ a11a24a32a43 - a11a24a33a42 - a12a21a33a44 + a12a21a34a43+ a12a23a31a44 - a12a23a34a41 - a12a24a31a43 + a12a24a33a41+ a13a21a32a44 - a13a21a34a42 - a13a22a31a44 + a13a22a34a41+ a13a24a31a42 - a13a24a32a41 - a14a21a32a43 + a14a21a33a42+a14a22a31a43 - a14a22a33a41 - a14a23a31a42 + a14a23a32a41。

四阶行列式的性质

1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

3、若n阶行列式|αij|中某行(或列)，行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列)，一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn。

4、行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

以上资料参考：百度百科-行列式

四阶行列式的计算方法：

第1步：把2、3、4列加到第1 列，提出第1列公因子 10，化为

1 2 3 4

1 3 4 1

1 4 1 2

1 1 2 3

第2步：第1行乘 -1 加到其余各行，得

1 2 3 4

0 1 1 -3

0 2 -2 -2

0 -1 -1 -1

第3步：r3 - 2r1,r4+r1，得

1 2 3 4

0 1 1 -3

0 0 -4 4

0 0 0 -4

所以行列式 = 10 (-4)(-4) = 160。

四阶行列式的性质

1、在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

3、四阶行列式由排成n阶方阵形式的n²个数aij(i,j=1,2,,n)确定的一个数，其值为n。

4、四阶行列式中k1,k2,,kn是将序列1,2,,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,,kn取遍1,2,,n的一切排列求和，那么数D称为n阶方阵相应的行列式。

举例说明四阶行列式的计算方法：

行列式的值=所有来自不同行不同列的元素的乘积的和。

每一项都是不同行不同列元素的乘积。因为a11和a23占用了1，2行和1，3列，所以剩下的两个元素来自3，4行的2，4列；

1、第三行取第二列，即a32，则第四行只能取第四列，即a44，也就是a11a23a32a44;

2、第三行取第四列，即a34，则第四行只能取第二列，即a42，也就是a11a23a34a42;

3、每一项的正负号取决于逆序数，对于a11a23a32a44，逆序数取决于1 3 2 4，逆序数为1，所以取负号

4、对于a11a23a34a42，逆序数取决于1 3 4 2，逆序数为2，所以取正号

注意事项：

四阶行列式的性质

1、在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

3、四阶行列式由排成n阶方阵形式的n²个数aij(i,j=1,2,,n)确定的一个数，其值为n。

4、四阶行列式中k1,k2,,kn是将序列1,2,,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,,kn取遍1,2,,n的一切排列求和，那么数D称为n阶方阵相应的行列式。

举例说明四阶行列式的计算方法：

行列式的值=所有来自不同行不同列的元素的乘积的和。

每一项都是不同行不同列元素的乘积。因为a11和a23占用了1，2行和1，3列，所以剩下的两个元素来自3，4行的2，4列；

1、第三行取第二列，即a32，则第四行只能取第四列，即a44，也就是a11a23a32a44;

2、第三行取第四列，即a34，则第四行只能取第二列，即a42，也就是a11a23a34a42;

3、每一项的正负号取决于逆序数，对于a11a23a32a44，逆序数取决于1 3 2 4，逆序数为1，所以取负号

4、对于a11a23a34a42，逆序数取决于1 3 4 2，逆序数为2，所以取正号

注意事项：

四阶行列式的性质

1、在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

3、四阶行列式由排成n阶方阵形式的n²个数aij(i,j=1,2,,n)确定的一个数，其值为n。

4、四阶行列式中k1,k2,,kn是将序列1,2,,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,,kn取遍1,2,,n的一切排列求和，那么数D称为n阶方阵相应的行列式。

高阶行列式的计算首先是要降低阶数。

对于n阶行列式A，可以采用按照某一行或者某一列展开的办法降阶，一般都是第一行或者第一列。因为这样符号好确定。这是总体思路。

具体解法如下：

扩展资料：

行列式的性质：

性质1、行列互换，行列式的值不变。

性质2、交换行列式的两行（列），行列式的值变号。

推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零。

性质3、若行列式的某一行（列）各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。

推论1、数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行（列）。

推论2、若行列式有两行（列）元素对应成比例，则该行列式的值为零。

性质4、若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行（列）的元素，其余各行（列）与原行列式相同。

性质5、将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。

四阶行列式的展开式共有24项。

拓展：展开方法及n阶行列式的定义

      由所作出的对角线关系可知，在每一次所得的乘积中，每一个元素只能有两条线经过，所以，一个元素只能在两个乘积中出现，共作三次图表。所以只能得六项含有该元素，在n阶行列式中，当首选某一个元素为某一展开项中的元素时，其余元素的选择只能从余下的n-1阶子式中去选择n-1个元素组成该项，方法有(n-1)!种。对于四阶行列式而言，且有(4-1)!=6种，所以该展开法符合上述原则。

    n阶行列式（定义1）设有n²个数，排成n行n列的表 ,作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，的形式如下的项，其中为自然数1,2,,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!个，这n!项的代数和称为n阶行列式。

解答过程如下：

向左转|向右转

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

扩展资料

行列式性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

参考资料：

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