如何做好数学概念教学

概念是客观事物本质属性在人们头脑中的反映。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。在中学数学教学中，正确理解数学概念是掌握数学知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。只有对概念理解得深透，才能在解题中做出正确的判断。初中数学教学内容里有大量的数学概念，它既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心。因此，作为教师在教学中必须加强数学概念的教学。

一、做好概念的引入

1从实际引入。概念属于理性认识，它的形成依赖于感性认识，学生的心理特点则是容易理解和接受具体的感性认识，所以在讲述新概念时，从引导学生观察和分析有关具体实物入手，比较容易揭示概念的本质和特征。例如，讲“数轴”的概念时，教师可模仿秤杆上用点表示物体的重量。秤杆具有三个要素：①度量的起点；②度量的单位；③明确的增减方向。这样以实物启发人们用直线上的点表示数，从而引出了数轴的概念，让学生从先对概念的现实原型有所感受，再将抽象的特征浓缩成数学概念。教学过程中，各种形式的直观教学是提供丰富、正确的感性认识的主要途径。

2从旧概念的基础上引入。在教学新概念前，如果能对学生认知结构中原有的适当概念作一些类比引入新概念，则有利于促进新概念的形成。例如：在教学一元二次方程时，可先复习一元一次方程，因为一元一次方程是基础，一元二次方程是延伸，复习一元一次方程是合乎知识逻辑的，二者的差异仅在于未知数的最高次数不同，因此很容易建立一元二次方程的概念。

二、抓住概念的本质

1揭示含义，突出关键词。数学概念严谨、准确、简练。教师的语言对于学生感知教材、形成概念具有重要的意义，因此要特别注意用词的严格性和准确性。教师要用生动、形象的语言讲清概念中关键的字、词、句的意义，这是指导学生掌握概念并认识概念的前提。

例如：“含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。”这个概念中，可抓住“相同”这一关键字作分析：出现了几次相同？相同的是什么？又如“最简二次根式”的概念中，要抓住满足的两个条件这些关键字眼。

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只有学生真正理解了概念，那么在解决问题的时候，才能得心应手，不会出现错误。

2弄清概念的内涵和外延。数学概念的内涵反映了数学对象的本质属性，外延是数学概念所有对象的总和，对概念的深化必须从概念的内涵和外延上作深入的分析。剖析概念的内涵就是抓住概念的本质特征。例如教学正方形的概念时，已学过平行四边形、矩形、菱形的概念，教学时可通过对正方形与矩形、菱形的概念作比较分析，发现正方形概念的内涵中包括矩形和菱形概念的内涵，从而在外延关系上得出正方形是特殊的矩形和菱形，而它们又都是特殊的平行四边形。从对正方形概念的教学，转向对平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的区别及其联系的分析，进而把平行四边形的知识系统化了。教学中注意引导学生从概念的内涵和外延上加以区别，找出它们的异同点，不仅有利于学生掌握数学概念，也有助于培养学生思维的广阔性，提高学生的辩证思维能力。

3剖析变化，深化概念。数学概念都是从正面阐述，一些学生只从表面文字上理解，碰到具体的数学问题却难以做出正确的判断。所以在学生正面认识概念的基础上，可通过反例或变式从反面剖析数学概念，凸显隐蔽的本质要素，加深对概念理解的全面性。有些学生对概念的全面理解不可能一蹴而就，而是要经历“实践——认识——再实践——再认识”的过程，通过对后续知识的学习回过头来再对概念进行加深理解，遵循“循环反复，螺旋上升”的学习原则。

三、注重概念的运用，升华概念

例如，对一次函数概念的掌握，可通过下列练习：

①如果y=(m+3)x-5是关于x的一次函数，则m=(　)。

②如果y=(m+3)x-5是关于x的一次函数，则m=(　)。

③如果y=(m+3)x+4x-5是关于x的一次函数，则m=(　)。

学习数学概念的目的，就是用于实践，因此要让学生通过实际操作去掌握概念、升华概念。概念的获得是由个别到一般，概念的应用则是从一般到个别。学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化、具体化，而且能使学生对概念的理解更全面、更深刻。

四、利用先进教学手段，使抽象概念具体化

有些数学概念对学生来说抽象难懂，是教学中的难点。而利用多媒体计算机的优势，使教学的表现形式更加形象生动，既有利于提高学生学习的积极性，又充分揭示了数学概念的形成与发展。例如学习两圆的位置关系时，通过多媒体的演示，让学生对抽象的概念有了更直观的体验与认识。

数学概念教学对整个数学教学起着至关重要的作用，学生透彻牢固地掌握概念是提高教学质量的关键。在平时的概念教学中应尝试运用不同的教学方法，揭示概念的形成与发展，做好概念的巩固和应用，完善学生的认知结构，发展学生的思维能力，使不同的人在数学上得到不同的发展。

————论如何在小学数学教学中用好概念数学

现在很多小学生对学习数学的积极性不高，缺乏学习兴趣，认为数学特别难学。我们只要认真分析，就不难发现，主要是学生对一些数学概念没有搞清楚。如：12的最大约数与最小倍数是相等的。学生却判断是错误的，本题涉及 “因数”、一个“自然数”的因数是“有限的”，最小的是1，最大的是它本身。“倍数”、一个自然数的倍数是“无限的”，最小的是它本身，最大的没有。还有“相等”。学生出现错误，说明学生对数学概念没有理解掌握好。数学概念是“双基”（即基础知识和基本技能）教学的核心内容；是基础知识的起点；是逻辑推理的依据；是正确、合理、迅速运算的保证。学生正确、清晰、完整地掌握数学概念，是掌握数学知识的基础。如果学生对概念不明确，也会影响学生的学习兴趣和学习效果。如果不懂什么是“分数”和“分数单位”，就很难理解分数四则运算法则的算理，就会直接影响分数四则计算能力的提高。正确、迅速、合理、灵活的计算能力只有在概念清楚的基础上，掌握计算法则，经过适当练习才能形成。学生概念清楚了，才能进行分析推理；逻辑思维能力和解决问题的能力才能不断提高。因此，在教学中如何使学生形成概念，正确地掌握和运用概念是极为重要的。数学教学过程，就是“概念的教学”。一个数学教师，要把概念教学放到突出地位。小学数学中的一些概念，对小学生来说，由于年龄小，知识不多，生活经验不足，抽象思维能力差，理解起来有一定的困难。因此教师在有关概念的教学过程中，一定要从小学生年龄实际出发，这样才会收到好的教学效果。

一、教学中让学生理解数学概念

1直观形象地引入概念

数学概念比较抽象，而小学生，特别是低年级小学生，由于年龄、知识和生活的局限，其思维处在具体形象思维为主的阶段。认识一个事物、理解一个数学道理，主要是凭借事物的具体形象。因此，教师在数学概念教学的过程中，一定要做到细心、耐心，尽量从学生日常生活中所熟悉的事物开始引入。这样，学生学起来就有兴趣，思考的积极性就会高。如在教平均数应用题时，我利用铅笔做教具，重温“平均分”的概念。我用9个同样大的小木块摆出三堆，第一堆1块，第二堆2块，第三堆6块，问：“每堆一样多吗？哪堆多？哪堆少？”学生都能正确回答。这时，我又把这三堆木块混到一起，重新平均分三份，每份都是3块，告诉学生“3”这个新得到的数，是这三堆木块的“平均数”。我再演示一遍，要求学生仔细看，用心想：“平均数”是怎样得到的。学生看我把原来的三堆合并起来，变成一堆，再把这堆木块分做3份，每堆正好3块。这个演示过程，既揭示了“平均数”的概念，又有意识地渗透“总数量÷总份数=平均数”的计算方法。然后，又把木块按原来的样子1块，2块、6块地摆好，让学生观察，平均数“3”与原来的数比较大小。学生说，平均数3比原来大的数小，比原来小的数大，这样，学生就形象地理解了“求平均数”这一概念的本质特征。

2运用旧知识引出新概念

数学中的有些概念，往往难以直观表述。如比例尺、循环小数等，但它们与旧知识都有内在联系。我就充分运用旧知识来引出新概念。在备课时要分析这个新概念有哪些旧知识与它有内在的联系。利用学生已掌握的旧知识讲授新概念，学生是容易接受的。苏霍姆林斯基说：“教给学生能借助已有的知识去获取知识，这是最高的教学技巧之所在。”从心理学来分析，无恐惧心理，学生容易活跃；无畏难情绪，易于启发思维；旧知识记忆好，容易受鼓舞；所以运用旧知识引出新概念教学效果好。例如从求出几个数各自的“倍数”从而引出“公倍数”、“最小公倍数”等概念。总之，把已有的知识作为学习新知识的基础，以旧带新，再化新为旧，如此循环往复，既促使学生明确了概念，又掌握了新旧概念间的联系。

3通过实践认识事物本质、形成概念

常言说，实践出真知，手是脑的老师。学生通过演示学具，可以理解一些难以讲解的概念。如一年级小学生初学数的大小比较。是用小鸡小鸭学具，一一对比。如一只小鸡对一只小鸭，第二只小鸡对第二只小鸭，……直到第六只小鸡没有小鸭对比了，就叫小鸡比小鸭多1只。又如二年级小学生学习“同样多”这个概念也是用学具红花和黄花，学生先摆5朵红花、再摆和红花一样多的5朵黄花，这样就把“同样多”这个数学概念，通过演示（手），思维（脑），形成概念，符合实践、认识，再实践、再认识的规律。这比老师演示、学生看，老师讲解、学生听效果好，印象深、记忆牢。

4、从具体到抽象，揭示概念的本质

在教学中既要注意适应学生以形象思维为主的特点，也要注意培养他们的抽象思维能力。在概念教学中，要善于为学生创造条件，引导他们通过观察、思考、探求概念的含义，沿着由感性认识到理性认识的认知过程去掌握概念。这样，可以培养学生的逻辑思维能力。如圆周率这个概念比较抽象。一般教师都是让学生通过动手操作认识圆的周长与直径的关系，学生通过观察、思考，分析，很快就发现不管圆的大小如何，每个圆的周长都是直径的3倍多一点。教师指出：“这个倍数是个固定的数，数学上叫做“圆周率”。这样，引导学生把大量感性材料，加以分析综合，抽象概括抛弃事物非本质东西（如圆的大小，纸板的颜色，测量用的单位等）抓住事物的本质特征（不论圆的大小，周长总是直径的3倍多一点）。形成了概念。

5、用“变式”引导学生理解概念的本质

在学生初步掌握了概念之后，我经常变换概念的叙述方法，让学生从各个侧面来理解概念。概念的表述方式可以是多种多样的。如质数，可以说是“一个自然数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。”有时也说成“仅仅是1和它本身两个因数的倍数的数”。学生对各种不同的叙述都能理解，就说明他们对概念的理解是透彻的，是灵活的，不是死背硬记的。有时可以变概念的非本质特征，让学生来辨析，加深他们对本质特征的理解。

6、对近似的概念加以对比

在小学数学中，有些概念的含义接近，但本质属性有区别。例如：数位与位数、体积与容积，减少与减少到等等相对应概念，存在许多共同点与内在联系。对这类概念，学生常常容易混淆，必须把它们加以比较，避免互相干扰。比较，主要是找出它们的相同点和不同点，这就要对进行比较的两个概念加以分析，看各有哪些本质特点。然后把它们的共同点和不同点分别找出来，使学生既看到进行比较对象的内在联系，又看到它们的区别。这样，学的概念就会更加明确。对近似的概念经常引导学生进行比较和区分，既能培养学生对易混概念自觉地进行比较的习惯，也能提高学生理解概念的能力。多年来教学实践的体会：重视培养学生的比较思想有几点好处：（1）有利于培养学生思维的逻辑性。（2）有利于提高学生的分析问题的能力。（3）有利于培养学生系统化的思维方式。

5、教师要帮助学生总结归纳出概念的含义

教学中学生的主体地位是必要的，但教师在教学的全过程中的主导地位也不能忽视。教师应发挥好主导作用。教师与学生的主、客体地位是相互依存，在一定条件下又相互转化。在概念教学中，教师要善于为学生创造条件，让学生沿着观察、思维、理解、表达的过程，由感性到理性的过程，由具体到抽象的过程去掌握概念。这样极易调动学生的积极性、主动性，也可以教会学生去发现真理。比如我教质数，合数两个概念。我先板书几个数：1、2、3、4、5、6、8、9、11、12，让同学分别写出每个数的因数来。为了便于学生观察，有意识地做如下的排列，学生写出下列答案：

1——1 2——1、26——1、2、3、6

3——1、3 4——1、2、4

5——1、58——1、2、4、8

11——1、11 9——1、3、9

12——1、2、3、4、6、12

订正后，让学生仔细观察，找自然数的因数规律。学生观察后发现了规律。有的说有三种规律，有的则认为四种情况。我表扬同学观察分析得好。是三种规律。于是又启发他们看是哪三种？①一个自然数只有一个因数；②一个自然数有两个因数；③一个自然数有三个以上因数。在这个情况下，我再次启发：一个因数的是什么样的数？两个的是什么样的？三个以上又是什么样的因数？学生则发现一个的只有1；两个的则有1还有本身；三个以上的则有1、自己本身、还有其它的因数。最后老师一一肯定，并由学生看书后总结出质数、合数概念，这时学生很受鼓舞，认为自己发现了真理。对质数、合数的概念印象极为深刻永不忘记。我又有意识地让学生研究“1”到底算哪类？学生沉默了，我说：“从书上找找是怎么说的？知道的就发言”。通过学生的口，说出“1”既不是质数，也不是合数。我问：“为什么”？学生答：因为“1”的因数只占一条，算1就没有本身，算本身又没有“1”，这样可比老师直接告诉、或叮咛他们注意主动。让学生在教师的帮助下，把大量感性材料经过分析综合，抽象概括。抛弃事物和现象的非本质的东西，抓住事物和现象的本质特征形成概念。因为是学生付出了脑力劳动而获取得到的，所以容易理解，记忆也牢固。

二　有效巩固概念

教学中不仅要求学生理解概念，而且还要使学生熟记并灵活地运用概念。我认为概念的记忆与应用是相辅相成的。因此在教学中，加强练习，及时复习并做归纳整理，对巩固概念具有特殊意义。

1、学过的概念要归纳整理才能系统巩固

学习一个阶段以后，引导学生把学过的概念进行归类整理，明确概念间的联系与区别，从而使学生掌握完整的概念体系。如学生学了“比”的全部知识后，我帮助他们归纳整理了什么叫比；比和除法、分数的关系；比的基本性质，利用比的基本性质，可以化简比；这一系列知识复习清楚之后，才能很好地解决求比例尺三种类型题和比例分配的实际问题。只有把比的意义理解得一清二楚，才能继续学习比例。表示两个比相等的式子叫做比例。这样做，就构成了一个概念体系，既便于理解，又便于记忆。概念学得扎扎实实，应用概念才会顺利解决实际问题。

2、通过实际应用，巩固概念

学习的目的是为了解决实际问题。而通过解决实际问题，势必加深对基本概念的理解。如学生学了小数的意义之后，我就让学生利用课外时间，到商店了解几种商品的价钱，写在作业本上，第二天让他们在课上向大家汇报。通过了解的过程，非常自然地对小数的意义，读、写法得以运用与理解。又如学了各种平面图形后，我让学生回家后，观察家里那些地方有这些平面图形。通过这种形式的作业，学生感到新鲜，有趣。这不仅巩固了所学概念，还提高了学生运用数学概念解决实际问题的能力。

3、综合运用概念，不仅巩固概念，而且检验概念的理解情况。

在学生形成正确的数学概念之后，进一步设计各种不同形式的概念练习题，让学生综合运用、灵活思考、达到巩固概念的目的，这也是培养检查学生判断能力的一种良好的练习形式。这种题目灵活，灵巧，能考察多方面的数学知识，是近些年来巩固数学概念一种很好的练习内容。

练习概念性的习题，目的在于让学生综合运用，区分比较，深化理解概念。所安排的练习题，应有一定梯度和层次，按照概念的序，学生认识的序去考虑习题的序。要根据学生实际和教学的需要，采用多种形式和方法设计，借以激发学生钻研的兴趣，达到巩固概念的目的。尤其应组织好概念性习题的教学，引导学生共同分析判断。

多年来的教学实践，使我深刻地体会到：要想提高教学质量，教师用心讲好概念是非常重要的，既是落实双基的前提，又是使学生发展智力，培养能力的关键。但这也仅仅是学习数学的一个起步，更重要的是在学生形成概念之后，要善于为学生创造条件，使学生经常地运用概念，才能有更大的飞跃。只有学生会运用所掌握的概念，才能更深刻地理解概念，从而更好地掌握新的数学知识。只有这样，培养能力，发展智力才会有坚实的基础

概念课教学的有效策略介绍如下：

利用变式。谓变式,是指提供的事例或材料不断地变换呈现形式,改变非本质属性,使本质属性“恒在”,借此可以帮助学生准确形成概念。感性材料的表现形式对数学概念的学习和掌握有重要影响,如果给学生提供的感性材料都是一些“标准”的实物或图形,那么学生在概念的理解上就难免出现片面性。利用变式,可以使学生透过现象看到本质,真正掌握概念。

利用对比辨析。建立概念时,对一些临近的、易混淆的数学概念,应该及时进行对比辨析,弄清它们之间的联系和区别。如最大公约数和最小公倍数;整除和除尽;正比例、反比例和不成比例的量多层次、分阶段建立概念体系。

概念的理解不是一次完成的,要有一个长期的、反复的认识过程。同样,一个完整的概念体系的建立也要多层次、分阶段进行。比如,在教学“分数的初步认识”时,可以分成三个层次来教学:第一是突出把一个分数“平均分”以后“取份”。

第二是解决“份数”与“整体”的关系;第三是明确单位“1”可以是一个物体,也可以是一类物体的集合体。通过这样反复的概念教学,学生不但能够很好地掌握分数的基本概念,而且为继续学习分数的本质属性打下了良好的基础。

把握概念教学的本质含义—评“中位数”一课纵观整节课，何老师进行了很好的价值取向，可以概括地说只做了一件事，那就是在层层递进的过程中，逐步丰富和建构对概念中位数本质意义的理解，即将“促进学生理解”始终贯串在整个课堂中。一、 在情境中丰富概念认识本节课，在工资问题上展开讨论，帮助学生体会并揭示概念，在公司人员发生变化的基础上，进一步体会中位数的含义，在具体的情境中（选择跳绳成绩相近的人员及歌手平均分的计算），在中位数和平均数的运用中加深对概念的理解。本课选择了情景非常丰富， 既有与实际生活联系的情境，如工资问题，也有比较抽象的数学情境如“19、20、21、21、24”，如把24改成49，平均数有何变化，中位数有何变化等，实际与抽象交错结合，促进学生数学的思考。有一点值得注意：何老师将其创设的情境的价值发挥到了最大化。如，在创设甲公司和乙公司的工资问题后，在不断丰富和变化此情境的基础上，解决了概念的感受，揭示与深入理解，直到运用概念时，才换了新的情境。二、 在对比中深化概念的理解对比是理解概念的一种重要方式。本节课。多次运用对比。在创设主题情境中，对两个公司平均工资的比较，创设认知冲突，“平均工资高的员工工资不一定就高，从而让学生感受到”平均数骗了我们“，需要寻求新的量来表示。这样的设计与教材呈现的一个公司相比，学生的认知冲突更明显，产生寻求新量的需求更大。在进一步明晰概念时，对两个公司的“平均数、中位数”进行了横向和纵向德对比，更能让学生体会概念的含义以及概念间的区别于联系。在深入理解概念的过程中，创设了动态的对比，将“19、20、21、21、24”，中的24换成49。（平均数、中位数“发生了什么变化。在这种变化中的对比，促使学生深刻体会两种量自身的含义 以及相互联系与区别。全课一致贯串这中位数与平均数的对比，更能将新概念（中位数）的本质属性剥离的更清新，使学生理解更透彻。这些对比，均对学生理解概念起了很大的作用，找寻和设计这些对比的过程，应该说是一个极富创造性的过程。三、 在整体中把握概念的本质本次多次出现了“不该出现的平均数“甚至有一个环节是：深刻理解平均数”即将 “19、20、21、21、24”，中的24换成49。（平均数是变大了还是变小了，把其中的19换成4，平均数是变大了还是变小了。有的老师认为有点“喧宾夺主，重点不突出”之嫌。我想上学教学不是孤立的片段或者知识点应是连贯的。在连贯的题材当中，学生更容易把握知识的本质，这种联系也使得学生更好的理解概念，把握概念本质。本课的教学内容虽然是“中位数” ，但他们都是统计量的一种，硬挨放到统计量的系统中来检视，目光不能局限于中位数，在教学过程中，何老师利用学生的思维，适时与平均数对比，使之更能体现各自量的意义。以及量与量之间的联系与区别，对培养学生理性看待数据也有着潜移默化的作用。关于中位数，属于陈述性知识，可以直接告诉，但本节课没有采取这种方式，究竟是该直接告知，还是该留一定的探索空间，目前有很所争论，我想，何老师德课堂，给了我们很好的诠释这种“润物无声“的课堂”滋养，对学生未来的成长有着不可估量的价值。

旧的教材强调学生对概念的描述基础上理解，掌握、再运用。所以，旧的教材对每个概念都做了书面的描述。并且强调学生要记住。所以教师教学重点是讲解概念，忽视概念形成的探究和运用上。新的教材注重对概念形成的探究和运用，并没有对概念进行书面的描述。新教材处理概念的教学很好，先让学生通过一条列的观察、分析、比较、判断等思维活动，让学生理解概念形成过程，是符合学生思维特点，但是我们教师却因此忽略了对概念总结与概括，这种无终无果的探究，学生依然对概念产生模糊的现象。新教材呢？一、抓住事物的本质特征，揭示概念内涵。事物都存在有共性与个性。它们是辩证统一的。我们要让学生通过从不同角度对事物进行观察、比较、分析等探究过程，学会透过现象看本质，也就是抓住共性的东西并进行归纳概括，揭示概念的内涵。学生对概念就容易理解了。如出示不同形状，不同大小的直角三角形，让学生观察比较、分析，找出共性的东西，学生不难发现有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。二、抓住关键的词，层层推敲，理解概念。小学的数学概念大多是运用词语加以描述的。所以，只要我们抓住关键的词语，层层推敲，学生就容易理解概念了。如：梯形这个概念：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，这个概念要使学生真正的理解，教师就要紧紧地抓住两个关键的词：（一）是四边形；（二）是只字。第一层，要让学生理解和掌握梯形不是五边形，也不是六边形，它是一个四边形。第二曾，是在四边形中必须只有一组对边平行，决不允许再有另一组对边平行。这样，学生就很清楚地理解了梯形这个概念。三、通过反面衬托理解概念的本质一般我们都是用正面方法来揭示概念的本质，但是为了使学生更容易理解概念的本质，在正面的揭示概念的基础上再通过反面衬托更是行之有效的方法。如教学方成这个概念时，首先，教师可过正面的揭示概念的本质：含有未知数的等式叫做方程。其次，教师可以通过反面衬托的方法，让学生辨别正误，确切的掌握方程这个概念。如四、比较易混淆概念。有些概念比较易混淆，学生不易区分，那么我们教师应要善于引导学生弄清易混概念的区别与联系。如倍数和公倍数，相同点都在倍数，都是数的倍数，都有无数个。不同点在公字，倍数，是一个数而讲。公倍数，那么公字就是指两个或两个以上的数。再如：化简比和求比值，可以说方法是有联系的，但结果不同，化简比结果仍然是一个比，求比值的结果是一个数。这样学生对概念理解就清晰化，明朗化，在运用上也会游刃自如了。总而言之，概念的教学在我们教学中占得比重较大，如果学生对概念不理解或理解的不透彻，就不能很好地掌握定律、法则、公式等。因此，我们教师要结合学生的实际，挖掘教材中的有利因素，选择行之有效的方法，帮助学生理解概念。

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