实数的有关概念和性质

实数的概念

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。

实数集通常用黑正体字母

R

表示。而

表示

n

维实数空间。实数是不可数的。实数是实数

理论的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，

任何实数都可以用无限小数的方式表示，

小数点的右

边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近

似成一个有限小数（保留小数点后

n

位，

n

为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能

存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数的运算法则

1

、加法法则：

（

1

）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；

（

2

）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：

②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：

2

、减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。即

a-b=a+(-b)

3

、乘法法则：

（

1

）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（

2

）

n

个实数相乘，有一个因数为

0

，积就为

0

；若

n

个非

0

的实数相乘，积的符号由负因

数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。

（

3

）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：

．

②乘法结合律

：

三个数相乘，

先把前两个数相乘，

或者先把后两个数相乘，

积不变．

即：

。

③分配律

：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相

加．即：

．

4

、除法法则：

（

1

）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（

2

）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即

（

3

）

0

除以任何数都等于

0

，

0

不能做被除数。

5

、乘方：

所表示的意义是

n

个

a

相乘，即

正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

乘方与开方互为逆运算。

6

、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如

果没有括号，

在同一级运算中要从左到右依次运算，

不同级的运算，

先算高级的运算再算低

级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

整数中,能够被2整除的数,叫做偶数不能被2整除的数是奇数

包括有理数和无理数其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数

自然数，非负整数集合；

正整数 1,2,3……数列组成的集合；

整数 自然数,负整数的集合；

有理数 可表示为分数的数的集合；

无理数 不可表示为分数的无限不循环小数的集合；

实数 有理数,无理数的集合。

有理数

是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

实数（real number）是有理数和无理数的总称，定义为与数轴上的实数，点相对应的数，是实数理论的核心研究对象，它与虚数共同构成复数。 实数可以分为有理数和无理数或代数和超越数。实数集通常用黑正体字母R表示，R表示n维实数空间。所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

性质

封闭性

实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性

实数集是有序的，即任意两个实数、必定满足并且只满足下列三个关系之一：，，。

传递性

实数大小具有传递性，即若，且，则有。

阿基米德性质

实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即，，若，则∃正整数，。

稠密性

实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

完备性

作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：

一、所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 14, 141, 1414, 14142, 141421, ) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限。

实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

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