变分原理的变分定义

变分法是讨论泛函极值的工具，所谓泛函，是指函数的定义域是一个无限维的空间，即曲线空间。在欧氏平面中，曲线的长的函数是泛函的一个重要的例子。一般来说，泛函就是曲面空间到实数集的任意一个映射。

函数的微分定义式为f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(x);那么泛函的微分有类似的定义：Φ(γ+h)-Φ(γ)=F+R,此处F为h的函数，R=o(h^2)注意，这里和微分不同的是h不一定是无穷小量。 泛函是可微的，其微分（变分）是参考文献：

1）钱伟长，《变分法及有限元（上册）》，科学出版社， 1980年8月第一版

2）Shen Xiaoming(沈孝明)，Mixed Compatible Element and Mixed Hybrid Incompatible Element Variational Methods in Dynamic of Viscous Barotropic Fluids，Proceedings ofthe second international confernce on fluid mechanics(Bejing,1993):511-516;

APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS(English Edition)，Vol15，No6，JUN1994：561-569

3）沈孝明，粘性流动的最大功率消耗原理不成立——论自然条件不参加变分兼论变分的定义和运算法则，北京大学学报，1990，26(3)：291-293

4）Shen Xiaoming(沈孝明)，Deformation Power and Complementary Power and so Forth of Compressible Viscous Fluid Floows and Their Applications in Variational Principles，《Some new trends on fluid mechanics and theoretical physics》，Chair man of Editiorial commitee:CCLin(林家翘)，Peking UnivercityPress，Frist Edition 1993:305-307

5）沈孝明，粘性流体动力学有限元变分原理，上海力学，1997，18(3)：201-206

6）沈孝明，非线性弹性体大变形问题的新广义变分原理，上海力学，1988，9(4)：66-72 1Venables, John, The Variational Principle and some applications Dept of Physics and Astronomy, Arizona State University, Tempe, Arizona (Graduate Course: Quantum Physics)2Williamson, Andrew James, The Variational Principle-- Quantum monte carlo calculations of electronic excitations Robinson College, Cambridge, Theory of Condensed Matter Group, Cavendish Laboratory September 1996 (dissertation of Doctor of Philosophy)3Tokunaga, Kiyohisa, Variational Principle for Electromagnetic Field Total Integral for Electromagnetic Canonical Action, Part Two, RelativisticCanonical Theory of Electromagnetics, Chapter VI

931 二维椭圆型偏微分方程的变分问题

目前二维电法正演问题是最重要的问题。所相应的是在第一类、第二类或第三类边界条件下的泊松方程或拉普拉斯方程。用数学的语言来说，这些都是属于椭圆型偏微分方程，所以这里就讨论和二维椭圆型方程相联系的变分问题。首先讨论椭圆方程边值问题和相应变分问题的等价性。

电法勘探中目标函数（如电位等）在勘探区域D内所满足的椭圆型微分方程为

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在D域的边界Γ上（Γ为逐段光滑的封闭曲线），满足下列条件之一：

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以上式中u（x，y）为欲求目标函数，α、β、γ和f均为x和y的已知函数。要求α＞0，β≥0，γ≥0。方程（931）也称为赫姆霍兹方程。

数学上可以证明，若函数 （x，y）是方程Lu=f（即（931）在边界条件（934）或（932）、（933）下）的解，则函数 使相应的泛函

J［u］=（Lu，u）-2（f，u） （935）

达到极小值，式中圆括号表示内积，定义为

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或者反过来也一样，若 使泛函J［u］达到极小值，则Lu=f是方程Lu=f在相应边界条件下的解，即赫姆霍兹方程的边值问题和二次泛函J［u］的变分问题是等价的。

这里不给出严格的证明，只从公式推导上说明其等价性，首先

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因为

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所以

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图93 区域边界的几何关系

（dl为文中ds）

利用平面格林公式

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上式积分中间两项可写为

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由图93可见

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所以

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代入第三类边界条件，则

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上式中ds为Γ上的一个微线段，n为该线段的外法线方向，所以

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实际上，J［u］是一个二次泛函，可以求出它的一阶变分和二阶变分。设δu（x，y）是u（x，y）的增量，则

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式中：

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泛函（936）取极值的必要条件是

δJ=0

又因α＞0，β≥0，γ≥0且δu≢0，所以δ2J＞0，故泛函（936）达到极小值的充要条件是δJ=0，δ2J＞0。

现将一阶变分δJ改写一下，因为

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所以

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而δu是任意的，又α＞0，因此由δJ=0推得

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这就是方程（931）的第三边值问题的解。

当γ=0时，在（936）式中没有线积分项，易于看出，δJ=0相当于微分方程在第二类边界条件下的求解，即：

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对于第一类边值问题，这时相应的泛函（936）式也没有线积分项，考虑到这时δu|Γ=0，故有

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与δJ=0相应的极小函数u（x，y）就是方程在第一类边界条件的解

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在以上讨论过程中有这样一种情况，即求一函数使泛函（936）达到极小值时，其边界条件是被极值函数自动满足的，无须作定解条件列出，这样的边界条件称为自然边界条件。

图94 两种介质的分界面

而第一类边界条件，在变分问题中与在微分方程边值问题中一样，必须作定解条件列出，也就是说极值解必须在满足这个边界条件的函数类中去找，这类边界条件称为强加边界条件。

前面的讨论适合于物性连续变化的介质，现在考虑分区均匀具有物性分界面的情况，这时必须考虑介质分界面的影响，在公式中将出现介质物性参数。现以稳定电流场为例进行讨论，由第一部分的理论：在两种导电介质的界面上，电流场必须满足的两个普遍性边界条件，即（839）和（8310）式。这时介质参数α1=σ1，α2=σ2分别为两种介质的导电率， 为界面法向方向，规定从介质1指向介质2。如图94所示。为简单起见，讨论二维拉普拉斯方程第一边值问题，相当于不包括场源空间的线源问题。

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这时β=0，f=0，（936）式简化为

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式中D域由区域D1和D2合成，在D1上α=α1，在D2上α=α2。上式的变分可写为

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由于规定界面的法线方向从介质1指向介质2，所以上式最后一项为负的。在界面Γ12上，由于电位连续，在边界附近介质1中的电位变化必等于介质2中的电位变化，即δu =δu ，且由于电流法线分量连续，上式中后面两项积分相互抵消，由此可得相应泛函的变分为

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式中Γ=Γ1+Γ2，只包括外边界，不包括介质分界面。

由此可知，只要泛函表达式中包含物性参数，泛函的变分与介质分界面无关，只与外边界有关。在泛函取极值的过程中，分界面上的边界条件将自动满足，这也属于自然边界条件。

932 里兹—伽辽金方法

里兹方法是求泛函的近似极小值函数的一个方法，伽辽金方法来源于力学中的“虚位移原理”，它和变分问题没有任何联系，因此不需要将微分方程问题化为泛函变分问题来求解。但当微分方程问题和变分问题等价时，它和里兹方法就是一样的，所以这里将它们并联起来叙述。

考虑满足第一边界条件下的泊松方程

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相应的变分问题是求泛函

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的极小值。

设极小值函数的近似值为

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通常Wi（x，y）可选取满足边界条件的三角函数或多项式，αi为待定系数，将（9314）式代入（9313）则

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其中

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由此可见，J（un）是α1，α2，…，αn的多元二次函数，由求泛函极小的必要条件，必须满足

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由此可得

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或

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这是一个线性代数方程组，解此方程组求出系数α1，α2，…，αn，代入（9314）式，便是我们要求的解。

事实上，将λk，s和μk的表达式代入（9315）式，可写为

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或

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由格林第一公式

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令u=un，v=Ws，并考虑边界条件，Wi也应满足边界条件Ws|Γ=0，故有

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代入（9316）式中可得

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这是方程组（9315）的另一形式，即所谓伽辽金方程组。

对于一般椭圆型方程（931）的第一边值问题

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相应的变分问题是求泛函

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的极小值。

同样，假设其极小值函数近似为（9314）式，可以证明此时确定αk的方程组为

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其中

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方程组（9320）的伽辽金形式为

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933 能量极小原理

在电磁学中有这样一个基本原理，即电磁场在达到平衡状态时都要求满足能量最小的条件，或者说，电磁能量取得极小的条件和麦克斯韦方程组是等价的，是以不同的形式表示电磁场状态及分布的基本定律。

已知电磁场的功率密度通量是由坡印亭矢量给出的

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而单位体积的功率ψ是密度通量 的负散度，即

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由于 ， 和

可将（9322）式写为

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将上式对时间t积分，可以得到能量密度

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上式中等式右边三项分别表示磁场的、电场的和传导电流的能量密度。

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式中γ2=-μω（ωε+iσ），这是用磁场强度表示的总能量表达式。同样可求出以电场强度表示的总能量表达式：

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当考虑存在场源时，有

磁源能量

电源能量

电流源能量

电流源功率

式中： 是源磁化强度； 为电极化强度； 为源电流密度。

电磁总能量DT由场的能量和源的能量组成，例如电场的总能量是电场能量和电极化源能量的总和

DT=DF+DE

前面已叙，电磁场的状态由能量极小原理确定。于是由极值的必要条件，能量DT的变分δDT必为零，对电场，其变分方程为

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对磁源磁场为

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当给定场源分布和适当边界条件时便可由上面变分方程求出介质各处的场值。

实际上可以证明满足变分方程的场值一定满足带有场源项的赫姆霍兹方程。例如（9325）式，由于其变分和积分是对不同变量进行的，故可以交换其顺序，可得

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利用高斯公式，上式第二项为

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由于在区域的边界S面上变分δE处处为零，所以上式为零。这样可写出

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由于在区域内δE不为零，δDT为零，则要求

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在均匀导磁率的区域，化简为

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或

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这就是带有场源的赫姆霍兹方程。可见由能量极小原理所导出的变分方程与麦克斯韦方程组导出的微分方程对决定场的状态是等价的。

变分法（calculus of variations）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，称为Plateau问题。

最优控制的理论是变分法的一个推广。

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