有点难度
三角平分线共点：
设D,E,F分别是△ABC角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点
则BD/DC=AB/AC，CE/EA=BC/AB，AF/FB=AC/BC
三个式子相乘，得(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1
由塞瓦定理，得AD,BE,CF共点
三高共点（图自己画一下吧）：
设AD，BE，CF是△ABC的三条高
△ABC为锐角三角形，有
BD=ABcosB,CD=ACcosC,CE=BCcosC,AE=ABcosA,AF=ACcosA,FB=BCcosB
可得
(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1
钝角三角形的情况类似，直角三角形就不用说了
望采纳
塞瓦定理在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1 证法简介（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明：∵△ADC被直线BOE所截,∴ (DB/BC)(CE/EA)(AO/OD)=1 ①∵△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)(AF/FB)(DO/OA)=1 ②②①:即得：(DB/BC)(CE/EA)(AO/OD)(BC/CD)(AF/FB)(DO/OA)=1 ∴(DB/CD)(CE/EA)(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DCCE/EAAF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)(BE:EC)(CF:FA)=[(CDcotA）/[(CDcotB）][(AEcotB)/(AEcotC)][(BFcotC)/[(BFcotA)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点
塞瓦定理
设 分别是 三边 或其延长线的点,若 三线平行或共点,则
塞瓦定理的逆定理
设 分别是 三边 或其延长线的点,若 则 三直线共点或三直线互相平行
将两个定理合写为:
设 分别是 三边 所在直线(包括三边的延长线)上的点,则 三线平行或共点的充要条件是
角元形式的塞瓦定理
设 分别是 三边 所在直线(包括三边的延长线)上的点,则 三线平行或共点的充要条件是
推论
设 分别是 的外接圆三段圆弧 上的点,点 不在 三边所在直线上, 则 三点共线充要条件是
三角形ABC内一点O，AO，BO，CO交对边于D，E，F。
证（AF/FB）（BD/DC）（CE/EA）=1。
1）最简单的证法：用面积证。由于S（ABO）/S（ACO）=BD/DC (这个用等底等高就很容易证)，同理S（ACO）/S（BCO）=AF/FB S（BCO）/S（ABO）=CE/EA，三个式子乘一下就出来了。
2）用梅涅劳斯定理：显然(AF/FB)(BC/CD)(DO/OA)=1, (AE/EC)(BC/BD)(DO/OA)=1,两个式子除一下就行了。
3）用分角定理：就是楼上那种证法。
可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴(CB/BD)(DO/OA)(AE/EC)=1①
∵△ABD被直线COF所截，
∴ (BC/CD)(DO/OA)(AF/FB)=1②
②/①约分得：
(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ，AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1
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