如果要单指铁路公司的话，那么全部JR有7家
分别是
JR北海道
http://www.jrhokkaido.co.jp/
JR东日本
http://www.jreast.co.jp/
JR东海
http://jr-central.co.jp/
JR西日本
http://www.westjr.co.jp/
JR四国
http://www.jr-shikoku.co.jp/
JR九州
http://www.jrkyushu.co.jp/
JR货物
http://www.jrfreight.co.jp/
一般所说的JR也是指这7家，以及隶属JR的JR总研等原JNR机构。并且各家JR不完全经营铁路业务，还经营巴士，渡船甚至不动产等。所以JR旗下的子公司有很多。新干线是日本的高速旅客铁道系统（注意这里是没有货车的），其经营权归JR所有，所以并不是说新干线系统算不算JR，而是本来就是JR的产业。
2、你的概念有点混乱，要知道日本的铁路货运是很萎缩的，因为日本的货运多数是经过海运和公路，铁道只占很少一部分。所以当年分拆的时候，所有的货运业务都归了JR货运一家。其余的几家JR是只经营客运的，所以他们的名号都叫“JR某某地旅客铁道株式会社”。新干线的问题前面已经说了，不再赘述。
3、日本的新干线是当年经济爆炸时候提出来的。而事实上，没有新干线以前，日本的长途列车一样在运行，例如东京往大阪京都去有东海道本线，往东北去有东北本线和奥羽本线等，只不过那时候长途列车速度很慢，不能满足需求，所以后来才有了新干线。而且要注意的是，新干线是走专用线路的，是不和普通列车在一起跑的，它就是专门用来实行大城市间的长途运输。
至于说普通的列车等于轻轨和地铁，其实并不能完全画等号。日本的站间距非常小，而日本的列车又是分等级的，从普通到急行一直到特急，不同的列车有不同的停站制度，普通的通勤列车确实很像轻轨，但是特急之类的是承担城际交通的任务的（虽然有些特急车样子长得和轻轨差不多）。山手线是环形线路就不说了，就拿你提到的京叶线来说，如果买错了票，普通买成了特急，不光浪费钱不说，还有可能就跑到千叶市去回不来了。
所以你的第三个问题在概念上是有错误的
至于JR东日本的这些：
1、因为你那张图里面除了山手线以外全都是其他铁路公司运营的线路，为了和JR东的山手线区分，所以用了其他的颜色（这张图是东京地下铁公司网站里的图，所以图里详细描了东京都交通局和东京地下铁，私铁的就粗粗标了）
2、山手线是环形线，通过它是可以连接到别的线路上。常磐线、京叶线这些都是普通线路，和新干线没关系。新干线只有东京站和上野站看得到，图上是没有的。
3、山手线的内环和外环指的是山手线的两个运行方向，内环是由田町往有乐町、东京站那边走，外环是反过来（山手线是环行线，理论上是没有终点的，但是习惯上，一般把田町视为山手线起点、大田视为终点）
4、日本允许私人财团投资铁道业，这部分由私人财团投资和运营的铁路叫做“民铁”，也就是那张图上所谓的私铁。东京地区的私铁就很多了，比较大规模的有京王、京成、京急、东武、西武、小田急等。你看到的那张图里面，和一般地图表示铁路用的符号相同的线路指的是JR线，这个不说了。问题是那张图里的彩色线路指的是东京都交通局和东京地下铁这两个都营（也就是东京市营，非私营）事业的线路。而私铁线路全部都是拿那个很细的线标的，所以就看不出来是哪家对哪家的线路了。
5、其实那图上已经标了是总武线
6、那张图里面最多标了JR东日本的东京都通勤圈线路，JR东日本的营业范围可是涵盖整个本州的东北部，东北/上越/北陆/山形/秋田新干线都是JR东的地盘。
如果JR东日本只是很可怜的守着东京都的通勤这块地盘，他也不会成为世界500强了。
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