常见的几种随机序列

在研究与分析问题中经常会遇到三种随机序列，下面分别进行介绍。

1.2.8.1 正态（高斯）随机序列

正态随机序列x（n）的N维联合高斯分布的概率密度函数为

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式中

X=［x1，x2，x3，…，xN］T，μ=［μx1，μx2，μx3，…，μxN］T

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式（1-54）表明，正态（高斯）随机序列仅决定于其均值矢量μ以及方差阵∑。具有指数型自相关函数的平稳高斯过程称为高斯-马尔可夫（Gauss-Markov（Марков））过程。这种信号的自相关函数和功率谱密度函数分别为

rxx（m）=σ2e-β｜m｜ （1-55）

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高斯——马尔可夫也是一种常见的随机信号，适合于大多数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当m→∞时，自相关函数趋近于0，所以均值为0，随机过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。

1.2.8.2 白噪声序列

如果随机序列x（n），其随机变量是两两不相关的，即

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式中

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则称该序列为白噪声序列；如果白噪声序列是平稳的，则

cov（xn，xm）=σ2δnm （1-58）

式中σ2是常数。设均值μxn=μ=0，其功率谱Pxx（ejω）=σ2，在整个频带上功率谱是一个常数。“白噪声”的名称由牛顿提出，他指出，白光包含了所有频率的光波，而在这里，功率谱Pxx（ejω）在整个频带上是一个常数，说明白噪声的功率谱是包含所有频率成分的序列。

如果白噪声序列服从正态分布，序列中随机变量的两两不相关性就是相互独立性，称之为正态（高斯）白噪声序列。显然，白噪声是随机性最强的随机序列，实际中不存在，是一种理想白噪声，一般只要信号的带宽大于系统的带宽，且在系统的带宽中信号的频谱基本恒定，便可以把信号看作白噪声。注意：正态和白色是两种不同的概念，前者是指信号取值的规律服从正态分布，后者指信号不同时刻取值的关联性。

1.2.8.3 谐波过程

谐波过程的描述如下：

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式中Ai、ωi均为常数，θi是一独立随机变量，在（-π，π］内服从均匀分布，即

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可以证明，这种谐波信号模型是平稳的，设N=1时，有

x（n）=A cos（ωn+θ）

它的统计平均值和自相关函数

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rxx（n+m，n）=E［x［n+m］x（n）］

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由于谐波过程的统计平均值与时间n无关，自相关函数仅与时间差m有关，谐波过程是平稳的。

当N大于1时，也有同样的结论，可以证明：

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随机序列的定义

随机序列（random sequence），更确切 的，应该叫做，随机变量序列。随机变量 序列，也就是随机变量形成的序列。有时 候为了简称，省略了变量二字。

随机序列的产生为了形容随机变量形成的 序列。

一般的，如果用X1，X2……Xn（表示n下 标于X）代表随机变量，这些随机变量如 果按照顺序出现，就形成了随机序列，记 做X^n（表示n上标于x）。这种随机序列 具备两种关键的特点：其一，序列中的每 个变量都是随机的；其二，序列本身就是 随机的。

随机序列举例说明

为了说明什么是随机序列，我们来举两个 例子。

假设我们持续扔一个色子，我们把这个事 件细分，那么这个事件应该包括扔第一次 色子得到的点数，扔第二次得到的点数， 直到扔第n次得到的点数。把每次扔的的 点数按顺序分别记做X1，X2……，Xn。这 里每个X的取值可能为{1 2 3 4 5 6}。那么 我们可以写出随机序列：

X^n = X1X2X3……Xn

更实际的，我们可以用高速路收费站来说 明。假设一个收费站有10个出口。那么， 把收费站出口出去的车数记做随机变量Xn ，这里Xn就是集合{X1，X2……，Xn}，集 合中每个元素的取值为{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}。那么如果按照时间顺序观察，不难得 出一个随机序列，这个序列表示出口出去 车数的一个变化情况，是一个序列，记做 ：

X^n = X1X2X3……Xn

它是好几个随机变量的序列.举个例子,一个城市的每天 的用电量是一个随机变量Y,每家每户的用电量 可以设为Xi,(i=1,2,3,.....),那么Y=X1+X2+X3+......, 这X1,X2,X3.....就是一个随机变量的序列.

在信息处理与传输中，经常遇到一类称为平稳随机序列的重要信号。所谓平稳随机序列，是指它的N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n的起始位置无关。换句话说，平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而发生变化。如果将随机序列在时间上平移k，其统计特性满足等式：

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这类随机序列就称为平稳随机序列。然而，在实际情况中，这一平稳条件很难得到满足，因此常将这类随机序列称为狭义（严）平稳随机序列。大多数情况下，虽然随机序列并不是平稳随机序列，但是它们的均值和均方值却不随时间而改变，其相关函数仅是时间差的函数，一般将这一类随机序列称为广义（宽）平稳随机序列。下面我们重点分析研究这类平稳随机序列。为简单起见，将广义平稳随机序列简称为平稳随机序列。

平稳随机序列的一维概率密度函数与时间无关，因此均值、方差和均方值均与时间无关，它们可分别表示为

μx=E［X（n）］=E［X（n+m）］ （1-17）

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二维概率密度函数仅仅取决于时间差，与起始时间无关；自相关函数与自协方差函数是时间差的函数。自相关函数rxx（m）与自协方差函数cxx（m）（用cxx（m）表示covxx（m））分别为

rxx（m）=E［X（n+m）X*（n）］ （1-20）

cxx（m）=E｛［X（n+m）-μx］［X（n）-μx］*｝ （1-21）

对于两个各自平稳而且联合平稳的随机序列，其互相关函数为

rxy（m）=rxy（n+m，n）=E［X（n+m）Y*（n）］ （1-22）

显然，对于自相关函数和互相关函数，下面公式成立

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如果对于所有的m，满足rxy（m）=0，则称两个随机序列互为正交。如果对于所有的m，满足rxy（m）=μxμy，cxy（m）=0，则称两个随机序列互不相关。

实平稳随机序列的相关函数、协方差函数具有以下重要性质

（1）自相关函数和自协方差函数是m的偶函数，即

rxx（m）=rxx（-m），cxx（m）=cxx（-m） （1-25）

而互相关函数和互协方差函数有如下关系

rxy（m）=ryx（-m），cxy（m）=cyx（-m） （1-26）

（2）rxx（0）在数值上等于随机序列的平均功率，即

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（3）

rxx（0）≥｜rxx（m）｜ （1-28）

（4）

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（5）

上两式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时间差的变大，愈来愈弱。

（6）

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