黎曼可积的必要条件是有界。
若f无界，任意划分至少有一个区间上f无界，若我们在该区间内取使得f无界的点，就不满足不等式，即不满足极限的有界性，从而黎曼和的极限不是有限值，从未黎曼和不收敛，从而不能黎曼可积。故：f一定有界。
考虑无界函数的广义黎曼积分，它是黎曼积分的极限，是黎曼和的极限的极限，所以广义黎曼积分不是黎曼积分，所以广义黎曼函数其中就包含了无界函数。
黎曼可积的性质：
如果函数在区间[a,b] 上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在[a,b] 上的积分也大于等于零。如果在区间[a,b]上几乎处处大于等于0，并且它的积分等于0，那么几乎处处为0。
[a,b]上的实函数是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。如果[a,b]上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。
黎曼可积的充分条件
1、函数在闭区间上连续。
2、函数在闭区间上有界且只有有限个间断点。
3、函数在闭区间上单调。
概念分析
在实分析中, 由黎曼创立的黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼-斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。
想要确定f(x)所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如f(x)取负值，则相应的面积值S亦取负值。
∫1/(1-x^2)dx
=∫1/[(1+x)(1-x)]dx
=1/2∫[1/(1+x)+1/(1-x)]dx
=1/2∫1/(1+x)dx+1/2∫1/(1-x)dx
=1/2∫1/(1+x)d(1+x)-1/2∫1/(1-x)d(1-x)
=1/2ln|1+x|-1/2ln|1-x|
=1/2ln|(1+x)/(1-x)|
对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。将f在闭区间[a,b]上的黎曼积分记作：
扩展资料：
积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
所有在 上可积的函数构成了一个线性空间。黎曼积分的意义上，所有区间[a,b]上黎曼可积的函数f和g都满足：
所有在可测集合 上勒贝格可积的函数f和g都满足：
在积分区域上，积分有可加性。黎曼积分意义上，如果一个函数f在某区间上黎曼可积，那么对于区间内的三个实数a, b, c，有
如果函数f在两个不相交的可测集 和 上勒贝格可积，那么
如果函数f勒贝格可积，那么对任意 ，都存在 ，使得 中任意的元素A，只要 ，就有
