柯西中值定理

柯西（Cauchy）中值定理：设函数f(m)g(m)

满足

⑴在闭区间[a,b]上连续；

⑵在开区间(a,b)内可导；

⑶对任意的m属于(a,b)，g'(m)≠0

那么在(a,b)内至少有一点y属于(a,b)，使得f(b) - f(a)/ g(b) - g(a)＝ f'(y) - g'(y)成 立

推论:

如果函数 在区间 上的导数 恒为零，那么函数 在区间 上是一个常数。

洛必达法则

柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则。

洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限。在满足一定条件下可以化成两个函数的导数的比值极限，这样就有可能使得原待定型变成简便而有效的求非待定型极限的问题。

柯西中值定理的条件如下：

如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么弧段上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弧AB。拉格朗日中值定理，也简称中值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

a 推导中值公式

要点 Cauchy 中值定理 : 若F(x)，G(x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，G'(x) ≠ 0，则

∃ ξ∈(a,b)，使得 F(b)−F(a)/G(b)−G(a) = F′(ξ)G′(ξ)

当我们适当选取函数F(x)、G(x)，就可以得到新的中值公式。

b 作为函数与导数的关系

要点 由Cauchy中值定理可知,若F(x)，G(x)在某区间 I 内可导，则 ∀ x1 x2 ∈ I ，∃ξ 使得

F(x2)−F(x1)G(x2)−G(x1) = F′(ξ)G′(ξ) ( ξ 在 与x1与x2 之间)。

即Cauchy中值公式给出了函数差分比与导数比的一种关系，利用在与x1与x2之间，我们能解决

不少问题 (虽然 ξ 在 x1 x2 之间什么位置不能肯定)。

柯西（Cauchy）中值定理：设函数满足

⑴在闭区间上连续；

⑵在开区间内可导；

⑶对任意，，

那么在内至少有一点，使得

与拉氏定理的联系

在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。

因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。

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