prim算法是什么?

prim算法是什么?,第1张

prim算法是图论中的一种算法。

普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小。

简介

最小生成树是数据结构中图的一种重要应用,它的要求是从一个带权无向完全图中选择n-1条边并使这个图仍然连通(也即得到了一棵生成树),同时还要考虑使树的权最小。

为了得到最小生成树,人们设计了很多算法,最著名的有prim算法和kruskal算法。教材中介绍了prim算法,但是讲得不够详细,理解起来比较困难,为了帮助大家更好的理解这一算法,本文对书中的内容作了进一步的细化,希望能对大家有所帮助。

1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;

2).初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {},为空;

3).重复下列操作,直到Vnew = V:

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,其中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);

b.将v加入集合Vnew中,将<u, v>边加入集合Enew中;

4).输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

反证法 :假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0

3).将<u,v>加入G0中可得一个环,且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立,命题得证.

1).记Graph中有v个顶点,e个边

2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

如果这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中,添加这条边到图Graphnew中

归纳基础:

n=1,显然能够找到最小生成树。

归纳过程:

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用,那么,在k+1阶图G中,我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作,即把u与v合为一个点v',把原来接在u和v的边都接到v'上去,这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边),G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法,如果T'+{<u,v>}不是最小生成树,最小生成树是T,即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>,否则,可以用<u,v>加入到T中,形成一个环,删除环上原有的任意一条边,形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>},是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T'),也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>}),产生了矛盾。于是假设不成立,T'+{<u,v>}是G的最小生成树,Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法,Kruskal算法得证。


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